Mathematics🎓 baccalaureate goal

الدوال العددية الدوال التناظرية

الدوال التناظرية: دراسة الدوال من الشكل ⁦x ↦ (ax+b)/(cx+d)⁩

🔊 The teacher reads for you

كسر تكون فيه x في البسط و في المقام معا. لا يمكن حساب صورة العدد الذي يُعدم المقام، فالمنحنى ينقطع هناك و ينقسم إلى فرعين لا يلتقيان. فكيف ندرس دالة لها ثقب في مجال تعريفها؟

ندرسها كأيّ دالة، لكن على كلّ مجال على حدة. الثقب ليس عائقا: هو حدّ. و ما يحدث قرب هذا الحدّ هو أهمّ ما في الدرس.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

تعيين مجموعة تعريف دالة تناظرية
حساب مشتقّة دالة تناظرية و دراسة إشارتها
بناء جدول تغيّرات على مجالين منفصلين

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

قاعدة اشتقاق قسمة دالتين
تعيين القيمة التي تُعدم مقاما

1. ما هي دالة تناظرية

الدالة التناظرية هي كلّ دالة تكتب على شكل كسر بسطه و مقامه من الدرجة الأولى:

الشكل العام

f(x)=a x + bc x + d

الشرط الأوّل: c غير معدوم. لو انعدم لعادت الدالة إلى الدرجة الأولى، و لما كان هناك كسر أصلا.
الشرط الثاني: العدد المميّز غير معدوم. لو انعدم لكانت الدالة ثابتة، و منحناها مستقيما أفقيا لا قطعا زائدا.

العدد المميّز

a d - b c ≠ 0

مجموعة التعريف هي ℝ محرومة من القيمة التي تُعدم المقام، أي مجالان منفصلان:

مجموعة التعريف

]-∞ ; -d/c[ ∪ ]-d/c ; +∞[

لا تكتب أبدا « الدالة متزايدة على مجموعة التعريف ». المجالان منفصلان، و التزايد يُعلن على كلّ واحد منهما على حدة. هذا خطأ يكلّف نقطة في كلّ دورة.

2. المشتقّة

نطبّق قاعدة قسمة دالتين. و النتيجة لها شكل ثابت مهما كانت الأعداد: مقام مربّع، و بسط لا يحتوي على x أبدا.

المشتقّة

f'(x)=a d - b c(c x + d)²

بسط المشتقّة هو العدد المميّز نفسه. و بما أنّ المقام مربّع، فإشارة المشتقّة هي إشارة هذا العدد وحده: موجب فالدالة متزايدة على المجالين، سالب فمتناقصة عليهما. سطر واحد يغني عن جدول إشارة كامل.

قطع زائد بفرعين منفصلين: مستقيم عمودي متقطّع يفصل بينهما عند القيمة الممنوعة، ومستقيم أفقي متقطّع يقتربان منه في الجهتين، وكلا الفرعين متزايد. — الفرعان لا يلتقيان أبدا، ومع ذلك يخضعان لنفس اتّجاه التغيّر.

مثال 1: مجموعة التعريف و المشتقّة

🎯المطلوب: عيّن مجموعة تعريف الدالة التناظرية ثمّ احسب دالتها المشتقّة.

📌المعطى

f(x)=2x + 1x + 2

🔹الخطوة 1: القيمة الممنوعة

نُعدم المقام لنجد القيمة الممنوعة.

x + 2 = 0 ⟺ x = -2

🔹الخطوة 2: مجموعة التعريف

]-∞ ; -2[ ∪ ]-2 ; +∞[

🔹الخطوة 3: العدد المميّز

نتحقّق من العدد المميّز قبل أيّ شيء: هنا ⁦a=2⁩، ⁦b=1⁩، ⁦c=1⁩، ⁦d=2⁩.

2 × 2 - 1 × 1=4 - 1=3

🔹الخطوة 4

نطبّق قاعدة القسمة: مشتق البسط في المقام ناقص مشتق المقام في البسط، على مربّع المقام.

f'(x)=2(x + 2) - 1(2x + 1)(x + 2)²

🔹الخطوة 5

ننشر البسط وحده.

2x + 4 - 2x - 1=3

✅النّتيجة

f'(x) = 3(x + 2)²

لاحظ أنّ البسط 3 هو بالضبط العدد المميّز المحسوب في الخطوة 3. هذا ليس صدفة: هو دائما كذلك. احسب العدد المميّز أوّلا، و ستعرف مشتقّتك قبل أن تشتقّ.

مثال 2: اتجاه التغيّر و جدول التغيّرات

🎯المطلوب: أدرس إشارة المشتقّة ثمّ عيّن اتجاه تغيّر الدالة على كلّ مجال.

📌المعطى

نواصل مع نفس الدالة و مشتقّتها.

f'(x) = 3(x + 2)²

🔹الخطوة 1: الإشارة

المقام مربّع، فهو موجب تماما في كلّ مكان يُعرَّف فيه. و البسط 3 موجب.

f'(x) > 0

🔹الخطوة 2

نُعلن التزايد على كلّ مجال على حدة، لا على الاتحاد.

x ∈ ]-∞ ; -2[ ⟹ f ↗

🔹الخطوة 3

x ∈ ]-2 ; +∞[ ⟹ f ↗

🔹الخطوة 4: النهايات البعيدة

نحسب النهايتين عند اللانهايتين: في التناظرية تؤول إلى نسبة المعاملين الأعلى درجة.

lim f=21=2

✅النّتيجة

f ↗ ; f ↗

السهمان صاعدان كلاهما، و مع ذلك لا يمكن القول إنّ الدالة متزايدة على مجموعة تعريفها: بين الفرعين قفزة من +∞ إلى -∞. الخطّ العمودي في الجدول ليس زينة، هو جدار.

مثال 3: القفزة حول القيمة الممنوعة

🎯المطلوب: احسب نهايتي الدالة على يسار القيمة الممنوعة و على يمينها.

📌المعطى

نكتب الدالة جداء لنفهم ما يحدث قرب ⁦−2⁩.

f(x)=(2x + 1) × (1x + 2)

🔹الخطوة 1: العامل الأوّل

العامل الأوّل لا مشكلة فيه: نعوّض مباشرة.

2 × (-2) + 1 = -3

🔹الخطوة 2: على اليسار

العامل الثاني ينفجر، و إشارته تتبع إشارة ⁦x + 2⁩: سالب على يسار ⁦−2⁩.

x < -2 ⟹ 1x + 2 → -∞

🔹الخطوة 3

جداء عدد سالب في كمّية تؤول إلى -∞ يعطي +∞.

(-3) × (-∞) → +∞

🔹الخطوة 4: على اليمين

على يمين ⁦−2⁩ ينقلب المقام إلى موجب.

x > -2 ⟹ 1x + 2 → +∞

🔹الخطوة 5

(-3) × (+∞) → -∞

✅النّتيجة

+∞ ; -∞

القاعدة الوحيدة التي تحتاجها: إشارة المقام. ادرس إشارة ⁦c x + d⁩ في جدول صغير، و ستقرأ منه الجهتين دون أن تتردّد.

في موضوع البكالوريا، دراسة دالة تناظرية تأتي كاملة: مجموعة التعريف، النهايات الأربع، المشتقّة، الجدول، ثمّ الرسم. أربع نهايات لا اثنتان: عند -∞ و عند +∞، ثمّ على يسار القيمة الممنوعة و على يمينها. نسيان اثنتين منها يخسر نصف السؤال.

الخلاصة: الدالة التناظرية كسر من درجتين أولى، معرّفة على مجالين منفصلين. مشتقّتها بسطها هو العدد المميّز و مقامها مربّع، فإشارتها ثابتة؛ و اتجاه التغيّر يُعلن على كلّ مجال على حدة، لأنّ بين المجالين قفزة لا عبور.

Page 1/6