Mathematics🎓 baccalaureate goal

الدوال العددية الدوال التناظرية

تعيين المستقيمات المقاربة و تفسيرها بيانيا، و تخمين النهايات عند ∞±

🔊 The teacher reads for you

منحنى يقترب من مستقيم دون أن يلمسه أبدا، مهما ابتعدنا. كلّما تقدّمنا ضاقت المسافة بينهما، لكنّها لا تنعدم. فما اسم هذا المستقيم، و كيف نجده دون أن نرسم شيئا؟

اسمه المستقيم المقارب، و نجده بالنهايات وحدها. النهاية عند اللانهاية تعطي المقارب الأفقي، و النهاية عند القيمة الممنوعة تعطي المقارب العمودي.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

تعيين معادلة مستقيم مقارب موازٍ لمحور الفواصل
تعيين معادلة مستقيم مقارب موازٍ لمحور التراتيب
قراءة النهايات على منحنى و تفسير المقاربين بيانيا

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

مفهوم نهاية دالة عند اللانهاية
رسم مستقيم أفقي أو عمودي في معلم

1. المقارب الموازي لمحور الفواصل

القول إنّ المستقيم ذا المعادلة ⁦y = y₀⁩ مقارب للمنحنى عند اللانهاية يعني بالضبط أنّ نهاية الدالة هناك تساوي y₀. لا أكثر و لا أقلّ: التعريف هو النهاية نفسها.

التعريف

lim f = y₀ ⟺ y = y₀

و في الدالة التناظرية ⁦f(x) = (ax + b)/(cx + d)⁩، حيث ⁦c ≠ 0⁩ و ⁦ad − bc ≠ 0⁩، هذه النهاية تُقرأ مباشرة من المعاملين الأعلى درجة:

في التناظرية

lim f = ac

2. المقارب الموازي لمحور التراتيب

هنا العكس: الدالة هي التي تنفجر نحو اللانهاية، عند اقتراب x من قيمة محدّدة. تلك القيمة هي فاصلة المقارب العمودي.

المقلوب عند الصفر

lim(x → 0, x > 0) 1x = +∞ ; lim(x → 0, x < 0) 1x = -∞

في التناظرية

x = -dc

انتبه إلى الاتجاه: المقارب الأفقي يُقرأ في نهاية الدالة لمّا يذهب x بعيدا، و المقارب العمودي يُقرأ في نهاية الدالة لمّا يقترب x من قيمة قريبة. في الأوّل x هو الذي يهرب، و في الثاني الدالة هي التي تهرب.

لا تحفظ ⁦y = a/c⁩ و ⁦x = -d/c⁩ كصيغتين جافّتين: الأولى هي نسبة معاملي x، و الثانية هي القيمة التي تُعدم المقام. إذا نسيتهما في الامتحان تستخرجهما من الدالة في سطرين.

مثال 1: مقارب أفقي

نبحث عن مستقيم يقترب منه المنحنى لمّا تكبر x أو تصغر بلا حدّ.

🎯المطلوب: عيّن معادلة المستقيم المقارب الموازي لمحور الفواصل.

📌المعطى

f(x)=3x + 12x + 4

🔹الخطوة 1: النسبة

معامل x في البسط هو 3، و في المقام هو 2.

🔹الخطوة 2: النهايتان

النهاية عند -∞ و عند +∞ هي هذه النسبة نفسها.

lim f = 32

✅النّتيجة

y = 32

المقارب الأفقي واحد لا اثنان: نفس المستقيم يخدم الطرفين في الدالة التناظرية. لا تكتب مقاربا لكلّ جهة.

مثال 2: مقارب عمودي

🎯المطلوب: عيّن معادلة المستقيم المقارب الموازي لمحور التراتيب.

📌المعطى

f(x) = 1x + 3

🔹الخطوة 1: القيمة الممنوعة

نُعدم المقام: هذه هي القيمة التي تنفجر عندها الدالة.

x + 3 = 0 ⟺ x = -3

🔹الخطوة 2: على اليمين

على يمين ⁦−3⁩ المقام موجب صغير، فالكسر يكبر بلا حدّ.

x > -3 ⟹ f(x) → +∞

🔹الخطوة 3: على اليسار

على اليسار المقام سالب صغير، فالكسر ينزل بلا حدّ.

x < -3 ⟹ f(x) → -∞

✅النّتيجة

x = -3

يكفي أن تنفجر الدالة في جهة واحدة ليكون المستقيم مقاربا. لا تشترط الجهتين، حتّى لو تحقّقتا معا في التناظرية.

مثال 3: المقاربان معا على منحنى واحد

نجمع الآن الحالتين على نفس الدالة. الشكل أسفله يبيّن المنحنى مع مقاربيه.

🎯المطلوب: عيّن معادلتي المستقيمين المقاربين لمنحنى الدالة f.

📌المعطى

f(x)=2x + 1x + 2

🔹الخطوة 1: الأفقي

نسبة معاملي x تعطي المقارب الأفقي.

21 = 2

🔹الخطوة 2

y = 2

🔹الخطوة 3: العمودي

القيمة التي تُعدم المقام تعطي المقارب العمودي.

x + 2 = 0 ⟺ x = -2

🔹الخطوة 4

x = -2

✅النّتيجة

المقاربان يقسمان المستوي إلى أربعة أرباع، و المنحنى يشغل ربعين متقابلين.

y = 2 ; x = -2

ارسم المقاربين أوّلا بخطّ خفيف، ثمّ ضع المنحنى بينهما. هكذا يستحيل أن تخطئ في شكل الفرعين: كلّ فرع محشور في زاوية بين المقاربين.

قطع زائد بفرعين، مع مستقيميه المقاربين: عمودي عند ناقص اثنين و أفقي عند اثنين. — المقارب يُعيَّن بالنهايات لا بالرسم؛ و الرسم لا يفعل سوى أن يُظهر ما قالته النهايتان.

و التمثيل البياني لدالة تناظرية يسمّى قطعا زائدا، و معادلتا مستقيميه المقاربين هما ⁦y = a/c⁩ و ⁦x = −d/c⁩.

3. جدول تغيّرات الدالة التناظرية

جدول تغيّرات الدالة التناظرية يجمع المقاربين في نظرة واحدة. مشتقّتها تحافظ على إشارة ثابتة على كلّ من المجالين، و خطّ مزدوج ⁦‖⁩ يعلّم القيمة الممنوعة. و النهايات المكتوبة في أطراف الأسهم هي التي تعطي المقاربين: النهاية المنتهية عند اللانهايتين تعطي المقارب الأفقي، و النهايتان اللانهائيتان على جانبي الخطّ المزدوج تعطيان المقارب العمودي.

مثال 4: جدول التغيّرات يعطي المقاربين

🎯المطلوب: شكّل جدول تغيّرات الدالة f، ثمّ اقرأ عليه معادلتي المستقيمين المقاربين.

📌المعطى

f(x)=2x + 1x - 1

🔹الخطوة 1: القيمة الممنوعة

نُعدم المقام: عند هذه القيمة يوضع الخطّ المزدوج في الجدول.

x - 1 = 0 ⟺ x = 1

🔹الخطوة 2: المشتقّة

قاعدة القسمة: مشتق البسط في المقام، ناقص مشتق المقام في البسط، على مربّع المقام. ثمّ ⁦2x − 2 − 2x − 1 = −3⁩.

f'(x)=2(x - 1) - 1(2x + 1)(x - 1)²=-3(x - 1)²

🔹الخطوة 3: الإشارة

البسط عدد سالب و المقام مربّع موجب: الإشارة سالبة على كلّ من المجالين، فالدالة متناقصة على كلّ منهما.

-3(x - 1)² < 0 ⟹ f ↘

🔹الخطوة 4: عند اللانهايتين

نسبة معاملي x، عند ⁦−∞⁩ و عند ⁦+∞⁩ معا.

lim f=21=2

🔹الخطوة 5: على اليمين

البسط يقترب من 3، و المقام موجب صغير: الكسر يكبر بلا حدّ.

x > 1 ⟹ f(x) → +∞

🔹الخطوة 6: على اليسار

البسط يقترب من 3، و المقام سالب صغير: الكسر ينزل بلا حدّ.

x < 1 ⟹ f(x) → -∞

✅النّتيجة

النهاية المنتهية عند اللانهايتين تعطي المقارب الأفقي، و النهايتان اللانهائيتان على جانبي 1 تعطيان المقارب العمودي.

y = 2 ; x = 1

جدول تغيّرات دالة تناظرية بخطّ مزدوج عند القيمة الممنوعة، و الدالة متناقصة على كلّ من المجالين. — الجدول يُقرأ من أطرافه: نهاية منتهية عند اللانهايتين تعطي المقارب الأفقي، و نهايتان لانهائيتان على جانبي الخطّ المزدوج تعطيان المقارب العمودي.

سؤال المقاربات يأتي دائما بعد النهايات مباشرة، و هو مجّاني إذا كتبت النهايات بشكل صحيح: كلّ نهاية منتهية عند اللانهاية تعطي مقاربا أفقيا، و كلّ نهاية لانهائية عند قيمة تعطي مقاربا عموديا. اربط الجملتين صراحة، فالسلّم ينقّط الربط لا النتيجة وحدها.

الخلاصة: المقارب مستقيم يقترب منه المنحنى، و يُعيَّن بالنهايات لا بالرسم. نهاية منتهية عند اللانهاية تعطي مقاربا أفقيا معادلته ⁦y = a/c⁩، و نهاية لانهائية عند القيمة الممنوعة تعطي مقاربا عموديا معادلته ⁦x = −d/c⁩.

Page 1/7