Mathématiques🎓 objectif bac

المتتاليات العددية

المتتاليات المحدودة من الأعلى و من الأسفل

🔊 La maîtresse lit pour toi

من أجل كلّ عدد طبيعي غير معدوم نضع حدّا يساوي 2 زائد 3 مقسومة على هذا العدد، فنلاحظ أنّ حدود هذه المتتالية لا تتجاوز أبدا 5 و لا تنزل أبدا عن 2 مهما كبرت الرتبة. فكيف نثبت رياضيا أنّ متتالية لا تتجاوز عتبة معيّنة، دون التحقّق من كلّ حدودها واحدا واحدا إلى ما لا نهاية؟

الفكرة بسيطة: للحكم على متتالية بأنّها لا تتجاوز عتبة معيّنة، لا حاجة لفحص كلّ حدودها؛ يكفي أن نثبت أنّ الفرق بين الحدّ و هذه العتبة سالب أو معدوم مهما كانت الرتبة.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

تعريف متتالية محدودة من الأعلى، ثمّ محدودة من الأسفل، بوجود عدد حقيقي يبقى فوقها أو تحتها على التوالي
تعريف متتالية محدودة بكونها محدودة من الأعلى و من الأسفل معا
إثبات أنّ متتالية محدودة من الأعلى أو من الأسفل بدراسة إشارة فرق بسيط
التمييز بين حدّ حادّ واحد لمتتالية و باقي الأعداد الحقيقية التي تصلح حدّا لها أيضا

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

الحساب على الكسور و مقارنة الأعداد الحقيقية
تحليل عبارة جبرية إلى عاملين أو أكثر

1. تعريفا الحدّ الأعلى و الحدّ الأسفل

محدودة من الأعلى

(∃ A ∈ ℝ)(∀ n) u_n ≤ A

محدودة من الأسفل

(∃ B ∈ ℝ)(∀ n) B ≤ u_n

نقول عن متتالية إنّها محدودة إذا كانت محدودة من الأعلى و محدودة من الأسفل في آن واحد.

مثال 1: إثبات أنّ متتالية محدودة

لتكن المتتالية ⁦(uₙ)⁩ المعرّفة من أجل كلّ رتبة غير معدومة بـ ⁦uₙ = 2 + 3/n⁩.

🎯المطلوب: أثبت أنّ المتتالية ⁦(uₙ)⁩ محدودة، مبيّنا حدّا حادّا من الأعلى و حدّا حادّا من الأسفل.

🔹الخطوة 1: حصر الحدّ من الأعلى

العدد ⁦3/n⁩ موجب تماما و يتناقص كلّما كبر n، فأكبر قيمة له تكون عند أصغر رتبة و هي الرتبة 1.

3n ≤ 3

🔹الخطوة 2: إضافة 2 إلى الطرفين

2 + 3n ≤ 2 + 3

✅النّتيجة 1: حدّ حادّ من الأعلى

u_n ≤ 5

🔹الخطوة 3: حصر الحدّ من الأسفل

العدد ⁦3/n⁩ موجب تماما مهما كانت الرتبة، فإضافته إلى 2 تعطي دائما عددا أكبر من 2.

3n > 0

🔹الخطوة 4: إضافة 2 إلى الطرفين

2 + 3n > 2 + 0

✅النّتيجة 2: حدّ حادّ من الأسفل

u_n > 2

✅الخلاصة

2 < u_n ≤ 5

⭐ العدد 5 ليس الحدّ الحادّ الوحيد من الأعلى: كلّ عدد أكبر منه يصلح حدّا من الأعلى أيضا. أصغر حدّ ممكن من الأعلى هو موضوع درس لاحق.

✅النّتيجة: قيم الحدّ من الرتبة 1 إلى الرتبة 11

الرتبة	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
قيمة الحدّ	5	3,5	3	2,75	2,6	2,5	2,42857143	2,375	2,33333333	2,3	2,27272727

القيم تتناقص و تقترب أكثر فأكثر من 2 دون أن تصل إليه أبدا.

2. طريقة الإثبات: دراسة إشارة الفرق

مثال 2: محدودة من الأعلى بدراسة إشارة الفرق

لتكن المتتالية ⁦(uₙ)⁩ المعرّفة على ℕ بحدّها العام ⁦uₙ = (2n²+1)/(n²+4)⁩.

🎯المطلوب: أثبت أنّ المتتالية ⁦(uₙ)⁩ محدودة من الأعلى بالعدد 2.

🔹الخطوة 1: حساب الفرق

u_n − 2=2n²+1n²+4 − 2

🔹الخطوة 2: توحيد المقام

u_n − 2=2n²+1 − 2(n²+4)n²+4

🔹الخطوة 3: تبسيط البسط

u_n − 2=2n²+1 − 2n² − 8n²+4

🔹الخطوة 4: نتيجة التبسيط

u_n − 2 = −7n²+4

✅النّتيجة 1: إشارة الفرق

المقام موجب تماما مهما كانت الرتبة، و البسط سالب، إذن الفرق كلّه سالب تماما.

u_n − 2 < 0

✅النّتيجة 2: الحدّ الحادّ

u_n < 2

⭐ الحيلة العامّة: لإثبات أنّ حدّا لا يتجاوز عتبة، احسب الفرق بينهما، وحّد مقامه، ثمّ ادرس فقط إشارة البسط عندما يكون المقام موجبا بداهة.

مثال 3: محدودة من الأسفل، مع بلوغ الحدّ فعليا

لتكن المتتالية ⁦(uₙ)⁩ المعرّفة على ℕ* بحدّها العام ⁦uₙ = (n²+n+9)/n⁩.

🎯المطلوب: أثبت أنّ المتتالية ⁦(uₙ)⁩ محدودة من الأسفل بالعدد 7.

🔹الخطوة 1: حساب الفرق

u_n − 7=n²+n+9n − 7

🔹الخطوة 2: توحيد المقام

u_n − 7=n²+n+9 − 7nn

🔹الخطوة 3: تبسيط البسط

u_n − 7=n² − 6n + 9n

🔹الخطوة 4: التعرّف على المتطابقة

البسط متطابقة هوية مربّع فرق.

n² − 6n + 9 = (n − 3)²

✅النّتيجة 1: صيغة الفرق

u_n − 7 = (n − 3)²n

✅النّتيجة 2: إشارة الفرق

البسط مربّع فهو موجب أو معدوم دائما، و المقام موجب تماما، إذن الفرق كلّه موجب أو معدوم.

u_n − 7 ≥ 0

✅النّتيجة 3: الحدّ الحادّ

u_n ≥ 7

⭐ المساواة تتحقّق بالضبط عند الرتبة 3، أي أنّ الحدّ يساوي 7 هناك بالضبط: هذا حدّ حادّ يُبلغ فعلا، لا حدّ نظري فقط.

مثال 4: متتالية غير محدودة من الأعلى

لتكن المتتالية ⁦(uₙ)⁩ المعرّفة على ℕ بحدّها العام ⁦uₙ = n²⁩.

🎯المطلوب: بيّن أنّه لا يوجد عدد حقيقي يحدّ هذه المتتالية من الأعلى.

🔹الخطوة 1: مقارنة الحدّ بأيّ عتبة

مهما اخترنا عددا حقيقيا، يمكن دائما إيجاد رتبة تجعل مربّعها أكبر منه، بأخذ رتبة أكبر من جذره التربيعي.

n > √A ⟹ n² > A

✅النّتيجة

¬(∃ A ∈ ℝ)(∀ n) u_n ≤ A

⭐ هذا يبيّن أنّ ليست كلّ متتالية محدودة من الأعلى: بعض المتتاليات تكبر بلا سقف، فلا يوجد عدد حقيقي يبقى فوقها إلى الأبد.

منحنى نقطي متناقص محصور بين خطّين أفقيين متقطّعين، يمثّل حدود متتالية محدودة من الأعلى و من الأسفل. — كلّ النقاط تبقى محصورة بين الخطّين، مهما تقدّمنا في الرتبة.

في البكالوريا يأتي هذا الدرس في سؤال من نوع أمثلته: «أثبت أنّ المتتالية محدودة من الأعلى بالعدد 2»، أو «من الأسفل بالعدد 7»، أو «أثبت أنّها محدودة». جهّز ثلاثة عناصر: ① التعريفان: محدودة من الأعلى إذا وُجد عدد حقيقي A حيث ⁦u_n ≤ A⁩ من أجل كلّ n، ومن الأسفل إذا وُجد B حيث ⁦B ≤ u_n⁩، ومحدودة إذا تحقّق الأمران معا ؛ ② طريقة الفرق: احسب ⁦u_n − 2⁩، ووحّد المقامات، وبسّط البسط، ثمّ ادرس الإشارة (مثل ⁦−7/(n² + 4)⁩ سالب، أو ⁦(n − 3)²/n⁩ موجب) ؛ ③ الحصر المباشر حين تسمح العبارة: ⁦3/n ≤ 3⁩، ثمّ أضف 2 إلى الطرفين. ⚠️ الخطأ الشائع: فحص الحدود الأولى واحدا واحدا والاستنتاج منها ؛ الجدول يوحي ولا يُثبت، والإثبات بإشارة الفرق من أجل كلّ n. ⚠️ وخطأ ثانٍ: الظنّ أنّ الحدّ المطلوب وحيد ؛ كلّ عدد أكبر من 5 يصلح حدّا من الأعلى أيضا.

الخلاصة: متتالية محدودة من الأعلى إذا وُجد عدد حقيقي يبقى فوق كلّ حدودها، و محدودة من الأسفل إذا وُجد عدد حقيقي يبقى تحت كلّ حدودها، و محدودة إذا تحقّق الأمران معا. لإثبات ذلك عمليا، ندرس إشارة الفرق بين الحدّ و العتبة بدل فحص الحدود واحدا واحدا. و ليست كلّ متتالية محدودة: بعضها يكبر أو يصغر بلا سقف.

Page 1/6