المتتاليات الرتيبة: اتجاه تغيّر متتالية

الجواب في مقارنة واحدة، تُعاد عند كلّ رتبة: نقارن الحدّ الموالي ⁦uₙ₊₁⁩ بالحدّ الحالي uₙ. إن كان الحدّ الموالي أكبر دائما فالمتتالية متزايدة، وإن كان أصغر دائما فهي متناقصة. كلمة « دائما » هي المهمّة: تخمين مبنيّ على أربعة أو خمسة حدود لا يكفي، والبرهان يجب أن يصلح من أجل كلّ عدد طبيعي n.

لتكن ⁦(uₙ)⁩ متتالية معرّفة على مجموعة الأعداد الطبيعية. التعاريف الثلاثة الموالية تقارن، في كلّ مرّة، حدّين متتابعين فقط:

ونقول عن المتتالية ⁦(uₙ)⁩ إنّها رتيبة إذا كانت إمّا متزايدة وإمّا متناقصة. أمّا المتتالية الثابتة فتُكتب بوجود عدد حقيقي k حيث ⁦uₙ = k⁩ من أجل كلّ عدد طبيعي n.

الطريقة تُختار حسب شكل الحدّ العام، وليست مسألة ذوق. الطرق الثلاث المستعملة في هذا الباب هي:

1. دراسة إشارة الفرق ⁦uₙ₊₁ − uₙ⁩: هي الطريقة الأساسية، وتصلح دائما.
2. مقارنة النسبة ⁦uₙ₊₁ ÷ uₙ⁩ بالعدد واحد: تُستعمل عندما تكون حدود المتتالية موجبة تماما وعندما يكون الحدّ العام جداء أو قوّة، لأنّ القسمة تُبسّط ما لا يُبسّطه الطرح.
3. دراسة اتجاه تغيّر الدالة المرفقة f المعرّفة على المجال ذي المبدأ صفر وغير المحدود، في حالة ما إذا كان ⁦uₙ = f(n)⁩.

إذن المتتالية ⁦(uₙ)⁩ متناقصة تماما. وهذه حدودها الأولى، وهي تؤكّد ما برهنّا عليه:

الدالة f متزايدة تماما على المجال الذي مبدؤه الصفر وغير المحدود، والحدود uₙ هي صورها عند الأعداد الطبيعية، فالمتتالية ⁦(uₙ)⁩ متزايدة. ونستطيع التأكّد من ذلك بالفرق مباشرة، وهو موجب تماما عند كلّ رتبة:

إذن المتتالية ⁦(uₙ)⁩ متناقصة تماما. وهذه حدودها الثلاثة الأولى:

المتتالية إذن ليست رتيبة: هي لا متزايدة ولا متناقصة. وهذا ممكن تماما، ولا يعني أنّ الدراسة فشلت — بل هو نتيجة الدراسة نفسها.