مدرستي
Mathématiques🎓 objectif bac

الاشتقاقية والاستمرارية على مجال الإشتقاقية 2

الدوال المشتقة للدوال المرجعية و العمليات عليها

🔊 La maîtresse lit pour toi
لإيجاد ميل مماس منحنى دالة مبنية من عدة عمليات كالجمع أو الجداء أو القسمة أو الجذر التربيعي، لا حاجة للعودة في كل مرة إلى تعريف النهاية. فما هي القواعد الجاهزة التي تسمح باشتقاق مجموع دالتين أو جداءهما أو مقلوب دالة أو جذرها التربيعي مباشرة؟

الجواب هو مجموعة من القواعد الجاهزة: قاعدة لكل دالة مرجعية، و قاعدة لكل عملية بين دالتين. نطبقها مباشرة دون العودة إلى النهاية، شريطة التحقق أولا من مجال قابلية الاشتقاق.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • معرفة مشتقات الدوال المرجعية: الثابت، x، xn، مقلوب x، و الجذر التربيعي
  • تطبيق قواعد اشتقاق المجموع و الجداء و المقلوب و القسمة
  • اشتقاق الدوال من الشكل الجذر التربيعي لـ u و un و مقلوب un حيث u دالة قابلة للاشتقاق
  • تحديد مجموعة قابلية الاشتقاق قبل تطبيق أي قاعدة
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • تعريف العدد المشتق و الدالة المشتقة (الدرس السابق)
  • مجالات تعريف الدوال المرجعية: xn، مقلوب x، الجذر التربيعي

1. مشتقات الدوال المرجعية

✅النّتيجة: جدول مشتقات الدوال المرجعية
الدالةمشتقتهامجال قابلية الاشتقاق
a (ثابت)0ℝ
x1ℝ
xn (n عدد طبيعي، ⁦n ≥ 2⁩)⁦n xn−1⁩ℝ
⁦1x⁩⁦−1x²⁩⁦]−∞;0[ ∪ ]0;+∞[⁩
⁦1/xn⁩ (⁦n⁩ عدد طبيعي غير معدوم)⁦−nxn+1⁩⁦]−∞;0[ ∪ ]0;+∞[⁩
⁦√x⁩⁦12√x⁩⁦]0;+∞[⁩

2. العمليات على المشتقات

لتكن u و v دالتين قابلتين للاشتقاق على مجال I، و k عددا حقيقيا.

✅النّتيجة: قواعد اشتقاق العمليات
العمليةمشتقتها
⁦u + v⁩⁦u′ + v′⁩
k u⁦k u′⁩
u v⁦u′v + v′u⁩
⁦1/v⁩ (⁦v⁩ لا تنعدم على ⁦I⁩)⁦−v′v²⁩
⁦u/v⁩ (⁦v⁩ لا تنعدم على ⁦I⁩)⁦(u′v − v′u)v²⁩
⭐ قاعدتا ⁦1/v⁩ و ⁦u/v⁩ تتطلبان أن لا تنعدم v على I كلها، و ليس فقط عند نقطة واحدة — تحقق من هذا الشرط قبل أي تطبيق.

3. اشتقاق الجذر التربيعي و الأس n لدالة

إذا كانت u دالة قابلة للاشتقاق على مجال I و موجبة تماما عليه، فإن الدالة الجذر التربيعي لـ u تقبل الاشتقاق على I بالقاعدة الآتية.

مشتقة الجذر التربيعي لدالة
(√u)′ = u′2√u
مثال 1: اشتقاق الجذر التربيعي لدالة

🎯المطلوب: أوجد مجموعة قابلية اشتقاق f ثم احسب ⁦f′(x)⁩.

📌المعطى
f(x) = √(x² + 2) ; u(x) = x² + 2
🔹الخطوة 1: مشتقة u

u دالة قابلة للاشتقاق على ℝ، و موجبة تماما على ℝ (مجموع مربع و عدد موجب)، إذن f قابلة للاشتقاق على ℝ. نحسب ⁦u′⁩.

u′(x) = 2x
🔹الخطوة 2: التعويض في القاعدة

نطبق القاعدة ⁦(√u)′ = u′/(2√u)⁩ بتعويض u و ⁦u′⁩.

f′(x) = 2x2√(x² + 2)
✅النّتيجة

نبسّط الكسر بقسمة البسط و المقام على 2.

f′(x) = x√(x² + 2)
⭐ الشرط ⁦u(x) > 0⁩ وحده هو الذي يبرر اشتقاق الجذر التربيعي — لو كانت u قد تنعدم أو تصير سالبة، لوجب تحديد المجال بعناية أكبر.

إذا كانت u دالة قابلة للاشتقاق على مجال I، و n عدد طبيعي أكبر من أو يساوي 2، فإن الدالة un تقبل الاشتقاق على I بالقاعدة الآتية.

مشتقة القوة n لدالة
(un)′ = n u′ un−1
مثال 2: اشتقاق قوة دالة

🎯المطلوب: أوجد مجموعة قابلية اشتقاق f ثم احسب ⁦f′(x)⁩.

📌المعطى
f(x) = (2x² − 3x + 3)³ ; u(x) = 2x² − 3x + 3 ; n = 3
🔹الخطوة 1: مشتقة u

u كثير حدود، إذن قابلة للاشتقاق على ℝ، و بالتالي f كذلك. نحسب ⁦u′⁩.

u′(x) = 4x − 3
🔹الخطوة 2: التعويض في القاعدة

نطبق قاعدة اشتقاق القوة n المذكورة أعلاه، بأخذ ⁦n = 3⁩.

f′(x)=3 (4x − 3) (2x² − 3x + 3)²
⭐ الأس على القاعدة يصبح ⁦n − 1⁩، و ليس n: هنا 3 يصبح 2. هذا الخطأ الأكثر تكرارا في تطبيق هذه القاعدة.

4. تمارين تطبيقية على الأشكال المركّبة

القراءة البيانية للمنحنى هي وحدها التي تعطي إشارة g و ⁦g′⁩، دون أي عبارة جبرية لـ g.
مثال 3: اشتقاق مربع دالة معرّفة بيانيا

🎯المطلوب: عيّن مجموعة قابلية اشتقاق f، ثم عبّر عن ⁦f′(x)⁩ بدلالة ⁦g(x)⁩ و ⁦g′(x)⁩، ثم استنتج إشارتها على ⁦]−1;0[⁩ و ⁦]0;1[⁩.

📌المعطى

g دالة قابلة للاشتقاق على ⁦[−1;3]⁩، غير معطاة جبريا — فقط بمنحناها.

f(x) = [g(x)]²
🔹الخطوة 1: عبارة ⁦f′⁩ بدلالة g و ⁦g′⁩

نطبق قاعدة ⁦(un)′⁩ مع ⁦n = 2⁩ و ⁦u = g⁩، دون معرفة عبارة g جبريا.

f′(x) = 2 g′(x) g(x)
🔹الخطوة 2: إشارة g المقروءة بيانيا

من الشكل نقرأ أن منحنى g يقع فوق محور الفواصل على ⁦[−1;0] ∪ [2;3]⁩، و تحته على ⁦[0;2]⁩.

g(x) ≥ 0 : [−1;0] ∪ [2;3]
🔹الخطوة 3: إشارة ⁦g′⁩ المقروءة بيانيا

من الشكل كذلك، g متناقصة على ⁦[−1;1]⁩ و متزايدة على ⁦[1;3]⁩، بمماس أفقي عند ⁦x = 1⁩.

g′(x) < 0 : ]−1;1[ ; g′(x) > 0 : ]1;3[
✅النّتيجة: إشارة ⁦f′⁩

إشارة ⁦f′⁩ هي حاصل جداء إشارتي ⁦g′⁩ و g، عمودا بعمود: الإشارتان متفقتان فتُعطيان +، مختلفتان فتُعطيان −.

f′(x) < 0 : ]−1;0[ ; f′(x) > 0 : ]0;1[
⭐ لا حاجة لعبارة جبرية لـ g: القراءة البيانية لإشارتها و إشارة مشتقتها كافية تماما لتحديد إشارة ⁦f′⁩ بقاعدة الجداء.

إذا كانت u دالة قابلة للاشتقاق على مجال I و لا تنعدم عليه، و n عدد طبيعي غير معدوم، فإن الدالة مقلوب un تقبل الاشتقاق على I بالقاعدة الآتية.

مشتقة مقلوب القوة n لدالة
(1un)′=− n u′un+1
مثال 4: اشتقاق مقلوب قوة دالة

🎯المطلوب: بيّن أن g قابلة للاشتقاق على ⁦]1;+∞[⁩ ثم احسب ⁦g′(x)⁩.

📌المعطى
g(x) = 1(x² − 1)³ ; u(x) = x² − 1 ; n = 3
🔹الخطوة 1: مشتقة u

على المجال ⁦]1;+∞[⁩، لدينا x² أكبر تماما من 1، فـ u لا تنعدم و هي قابلة للاشتقاق.

u′(x) = 2x
🔹الخطوة 2: التعويض في القاعدة

نطبق قاعدة اشتقاق مقلوب القوة n المذكورة أعلاه، بأخذ ⁦n = 3⁩.

g′(x) = −3 2x(x² − 1)⁴
✅النّتيجة

نبسّط حاصل الجداء ⁦3×2⁩.

g′(x) = −6x(x² − 1)⁴
⭐ مجموعة قابلية الاشتقاق هنا ليست ℝ كلها: العدد ⁦−1⁩ و العدد 1 يجعلان المقام ينعدم، فيجب استثناؤهما، و الاقتصار على المجال المطلوب ⁦]1;+∞[⁩
⛔ في الامتحان، ابدأ كل تمرين اشتقاق مركّب بتحديد u و n (أو الجذر) بوضوح، ثم اكتب مجال قابلية الاشتقاق قبل تطبيق القاعدة، لا بعدها: هذا هو الترتيب الذي يتوقعه المصحّح، و هو الذي يمنع كتابة نتيجة على مجال لا تصح فيه.
لاشتقاق دالة مبنية من دوال مرجعية بالعمليات (الجمع، الجداء، المقلوب، القسمة) أو بالتركيب البسيط (الجذر التربيعي لـ u، un، مقلوب un)، لا داعي للعودة إلى تعريف النهاية: تُحدَّد u و n، يُتحقّق من شرط قابلية الاشتقاق (وجود، عدم انعدام، أو إيجابية حسب الحالة)، ثم تُطبَّق القاعدة المناسبة مباشرة.

Page 1/7

© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net