Mathématiques🎓 objectif bac

الاشتقاقية والاستمرارية على مجال الإشتقاقية 2

توظيف المشتقات في دراسة اتجاه تغيّر دالة

🔊 La maîtresse lit pour toi

معرفة إشارة الدالة المشتقة على مجال كامل تغني عن حساب قيم الدالة نفسها في نقاط عديدة. فكيف تسمح إشارة ⁦f′⁩ وحدها باستنتاج اتجاه تغير f، و بناء جدول تغيراتها كاملا؟

الجواب هو مبرهنة تربط الإشارة بالاتجاه: لا حاجة لمقارنة قيم الدالة نقطة بنقطة، يكفي معرفة متى تكون ⁦f′⁩ موجبة و متى تكون سالبة.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

معرفة المبرهنة الرابطة بين إشارة ⁦f′⁩ و اتجاه تغير f
تحليل عبارة الدالة المشتقة لتحديد إشارتها على كل مجال جزئي
بناء جدول تغيرات دالة انطلاقا من إشارة مشتقتها و نهاياتها

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

مشتقات الدوال المرجعية و قواعد العمليات عليها (الدرس السابق)
حل متراجحة من الدرجة الثانية بدراسة إشارة كثير حدود

1. المبرهنة: من إشارة ⁦f′⁩ إلى اتجاه تغير f

لتكن f دالة قابلة للاشتقاق على مجال I: إذا كانت مشتقتها موجبة على كامل I، ما عدا ربما عددا محدودا من القيم التي تنعدم عندها، فإن f متزايدة تماما على I؛ إذا كانت مشتقتها سالبة بنفس الشرط فإن f متناقصة تماما على I؛ و إذا كانت مشتقتها منعدمة على I كلها فإن f ثابتة عليه.

مثال 1: حساب المشتقة و تحليلها

🎯المطلوب: احسب ⁦f′(x)⁩ للدالة f، ثم حلّلها تحليلا تاما.

📌المعطى

f دالة كثير حدود على ℝ.

f(x)=3x⁴ − 8x³ + 6x² − 3

🔹الخطوة 1: حساب ⁦f′⁩

f كثير حدود فهي قابلة للاشتقاق على ℝ. نشتق حدا حدا.

f′(x) = 12x³ − 24x² + 12x

🔹الخطوة 2: إخراج عامل مشترك

نُخرج 12x عاملا مشتركا من الحدود الثلاثة.

f′(x) = 12x(x² − 2x + 1)

✅النّتيجة: التحليل التام

العبارة ⁦x² − 2x + 1⁩ متطابقة هوية شهيرة: مربع الفرق ⁦x − 1⁩.

f′(x) = 12x(x − 1)²

⭐ التحليل التام هو ما يسمح بمعرفة إشارة ⁦f′⁩ دون رسم أو تجربة قيم: عامل من الدرجة الأولى و عامل مربّع دائم الإيجابية.

مثال 2: استنتاج اتجاه التغير و بناء جدول التغيرات

🎯المطلوب: استنتج اتجاه تغير f من إشارة ⁦f′⁩، ثم اذكر نهايتيها عند ما لا نهاية.

📌المعطى

f′(x) = 12x(x − 1)² ; f(0) = −3 ; f(1) = −2

🔹الخطوة 1: إشارة ⁦f′⁩

العامل ⁦(x−1)²⁩ موجب دائما (أو منعدم عند ⁦x=1⁩)، فإشارة ⁦f′⁩ هي إشارة العامل 12x.

f′(x) < 0 : ]−∞;0[ ; f′(x) > 0 : ]0;1[ ∪ ]1;+∞[

🔹الخطوة 2: اتجاه التغير (↘ = متناقصة ، ↗ = متزايدة)

بما أن ⁦f′⁩ سالبة قبل 0 و موجبة بعده (مع انعدام معزول عند ⁦x=1⁩)، تُستنتج المبرهنة السابقة مباشرة.

f ↘ : ]−∞;0] ; f ↗ : [0;+∞[

✅النّتيجة: النهايتان

f كثير حدود من الدرجة الرابعة بمعامل موجب، فنهايتاها عند ما لا نهاية موجبتان.

lim_x→−∞ f(x) = +∞ ; lim_x→+∞ f(x) = +∞

⭐ عند ⁦x = 1⁩ تنعدم ⁦f′⁩ لكنها لا تغيّر إشارتها: هذا لا يوقف التزايد، و هو بالضبط ما تعنيه عبارة المبرهنة «ما عدا عددا محدودا من القيم».

✅النّتيجة: جدول تغيرات الدالة f

x	−∞		0		1		+∞
⁦f′(x)⁩		−	0	+	0	+
⁦f(x)⁩	+∞	↘	⁦−3⁩	↗	⁦−2⁩	↗	+∞

القيمتان ⁦−3⁩ و ⁦−2⁩ محسوبتان مباشرة: ⁦f(0)=−3⁩ و ⁦f(1)=−2⁩.

2. تطبيق على دالة ناطقة

مثال 3: حساب مشتقة دالة ناطقة و تحديد إشارتها

🎯المطلوب: احسب ⁦f′(x)⁩، ثم بيّن أن إشارتها هي إشارة بسطها فقط، ثم أوجد جذري هذا البسط.

📌المعطى

f معرفة و قابلة للاشتقاق على ℝ.

f(x)=x + 1x² + 3

🔹الخطوة 1: حساب ⁦f′⁩

نطبق قاعدة اشتقاق ⁦u/v⁩ مع ⁦u(x)=x+1⁩ و ⁦v(x)=x²+3⁩، فنحصل على بسط من الدرجة الثانية.

f′(x)=−x² − 2x + 3(x² + 3)²

🔹الخطوة 2: إشارة المقام

المقام هو مربع عدد موجب تماما (لأن ⁦x²+3⁩ لا ينعدم أبدا)، فهو موجب تماما على ℝ.

(x² + 3)² > 0

✅النّتيجة: جذرا البسط

إشارة ⁦f′⁩ هي إذن إشارة البسط ⁦−x² − 2x + 3⁩، الذي يقبل الجذرين 1 و ⁦−3⁩.

−x² − 2x + 3 = 0 ⟺ x ∈ {1 ; −3}

⭐ عامل مربّع كامل في المقام لا يغيّر أبدا إشارة الكسر: يكفي دائما دراسة إشارة البسط.

مثال 4: استنتاج اتجاه التغير و جدول التغيرات

🎯المطلوب: استنتج اتجاه تغير f، ثم احسب ⁦f(−3)⁩ و ⁦f(1)⁩ لإتمام جدول تغيراتها.

📌المعطى

⁦−x² − 2x + 3⁩ قابل للتحليل بجذريه 1 و ⁦−3⁩.

−x² − 2x + 3=−(x − 1)(x + 3)

🔹الخطوة 1: إشارة البسط

كثير حدود من الدرجة الثانية معامله الأول سالب: يكون سالبا خارج الجذرين و موجبا بينهما.

−x² − 2x + 3 < 0 : ]−∞;−3[ ∪ ]1;+∞[ ; > 0 : ]−3;1[

🔹الخطوة 2: اتجاه التغير (↘ = متناقصة ، ↗ = متزايدة)

⁦f′⁩ لها نفس هذه الإشارة، فنستنتج اتجاه التغير مباشرة من المبرهنة.

f ↘ : ]−∞;−3] ; f ↘ : [1;+∞[ ; f ↗ : [−3;1]

✅النّتيجة: القيمتان الحديتان

نحسب قيمتي f عند الحدين ⁦−3⁩ و 1 لإتمام الجدول.

f(−3) = −16 ; f(1) = 12

⭐ النهايتان عند ما لا نهاية لدالة ناطقة تُحسبان بمقارنة درجتي البسط و المقام؛ هنا درجة المقام أكبر، فالنهايتان تساويان 0 عند +∞ و عند −∞.

منحنى تقريبي للدالة ⁦f(x) = (x+1)/(x²+3)⁩ مرسوم انطلاقا من جدول تغيراتها — القيمة الحدية الصغرى عند ⁦x=−3⁩ و القيمة الحدية العظمى عند ⁦x=1⁩ تظهران بوضوح على الشكل.

⛔ عامل من درجة زوجية دائم في المقام أو مضروب في عبارة (مثل ⁦(x²+3)²⁩ أو ⁦(x²+1)²⁩) لا يغيّر أبدا إشارة الكسر — فحص إشارته ضروري، لكن النتيجة معروفة سلفا إن كان لا ينعدم على المجال.

في البكالوريا يأتي هذا الدرس في قلب دراسة الدالّة: «احسب ⁦f′(x)⁩، ثمّ ادرس إشارتها واستنتج اتّجاه تغيّر f، وشكّل جدول تغيّراتها». جهّز ثلاثة عناصر: ① المبرهنة: ⁦f′⁩ موجبة على مجال يعني f متزايدة عليه، وسالبة يعني متناقصة، ومنعدمة على مجال كامل يعني ثابتة ؛ ② تحليل المشتقّة: اكتبها جداء أو حاصل قسمة عوامل بسيطة الإشارة، وادرس إشارة كلّ عامل على كلّ مجال جزئي ؛ ③ الجدول الكامل: إشارة ⁦f′⁩، ثمّ اتّجاه التغيّر، ثمّ النهايات والقيم عند أطراف المجالات. ⚠️ الخطأ الشائع: الظنّ أنّ عاملا من درجة زوجية مثل ⁦(x² + 1)²⁩ في المقام يغيّر إشارة الكسر ؛ هو موجب ما دام لا ينعدم على المجال، فاذكر ذلك في سطر ثمّ ادرس العوامل الأخرى. ⚠️ وخطأ ثانٍ: استنتاج اتّجاه التغيّر من قيم الدالّة في بضع نقاط بدل إشارة المشتقّة.

لاستنتاج اتجاه تغير دالة قابلة للاشتقاق، نحسب مشتقتها، نحلّلها إن أمكن إلى عوامل بسيطة الإشارة، ثم نستنتج إشارتها على كل مجال جزئي: إشارة ⁦f′⁩ موجبة تعني f متزايدة، سالبة تعني f متناقصة، منعدمة على مجال كامل تعني f ثابتة. النتيجة تُجمع في جدول تغيرات واحد.

Page 1/5