Mathématiques🎓 objectif bac

الدوال الأصلية والتكاملات الدوال الأصلية

حساب دوال أصلية لدوال بسيطة و الدوال الأصلية و العمليات

🔊 La maîtresse lit pour toi

لكلّ دالة مألوفة (كثير حدود، قوّة، جذر) قاعدة اشتقاق نعرفها عن ظهر قلب. فإن قرأنا هذه القواعد بالمقلوب نحصل مباشرة على قواعد جاهزة لحساب الدوال الأصلية، دون أن نبحث عن الدالة بالتخمين في كلّ مرّة. فما هي هذه القواعد الجاهزة، و كيف نستعملها حتّى مع دالة مركّبة انطلاقا من دالة أخرى u؟

سنبني في هذا الدرس جدولا جاهزا للدوال الأصلية، ثمّ جدولا ثانيا لحالة دالة مركّبة انطلاقا من دالة u. المهارة الحقيقية ليست في حفظ الجدولين، بل في التعرّف على شكل الدالة المعطاة لمعرفة أيّ سطر من الجدول يُطبَّق عليها.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

استعمال جدول الدوال الأصلية للدوال المألوفة (كثيرات الحدود، القوى، الجذر التربيعي)
تطبيق خاصّيتي الدالة الأصلية لمجموع دالتين و لجداء دالة بعدد حقيقي
التعرّف على الصيغ المركّبة ⁦u′uⁿ⁩ و ⁦u′/uⁿ⁩ و ⁦u′/√u⁩ و تعيين دالّتها الأصلية
تحديد الدالة u و مشتقّتها ثمّ المعامل العددي اللازم قبل تطبيق القاعدة المناسبة

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

معرفة الدالة الأصلية لدالة على مجال، و أنّ دالتين أصليتين تختلفان بثابت
اشتقاق دالة مركّبة من الشكل uⁿ و ⁦√u⁩ بدلالة u و مشتقّتها ⁦u′⁩

1. الدوال الأصلية لدوال مألوفة

نحصل على الجدول الآتي بقراءة عكسية لمشتقّات الدوال المألوفة؛ c يمثّل عددا حقيقيا كيفيا في كلّ سطر:

جدول الدوال الأصلية للدوال المألوفة

⁦f(x)⁩	دالة أصلية ⁦F(x)⁩	المجال I
a (عدد حقيقي)	⁦ax + c⁩	ℝ
x	⁦x²2 + c⁩	ℝ
⁦xⁿ (n∈ℕ*)⁩	⁦xⁿ⁺¹n+1 + c⁩	ℝ
⁦1x²⁩	⁦−1x + c⁩	⁦]0;+∞[⁩ أو ⁦]−∞;0[⁩
⁦1xⁿ (n≥2)⁩	⁦−1(n−1)xⁿ⁻¹ + c⁩	⁦]0;+∞[⁩ أو ⁦]−∞;0[⁩
⁦1√x⁩	⁦2√x + c⁩	⁦]0;+∞[⁩

مثال 1: تطبيق مباشر على قوّة و مقلوب قوّة

🎯المطلوب: عيّن دالة أصلية لكلّ من الدالتين f و g أعلاه، الأولى على ℝ و الثانية على ⁦]0;+∞[⁩.

📌المعطى

f(x) = x⁵ ; g(x) = 1x⁴

🔹الخطوة 1: الدالة الأولى ⁦(n = 5)⁩

نطبّق سطر xⁿ بـ ⁦n=5⁩.

F(x) = x⁶6

🔹الخطوة 2: الدالة الثانية ⁦(n = 4)⁩

نطبّق سطر ⁦1/xⁿ⁩ بـ ⁦n=4⁩.

G(x) = −13x³

⭐ لا تخلط بين مقامي القاعدتين: ⁦n+1⁩ ترفع الأسّ في الحالة الأولى، بينما ⁦n−1⁩ تخفضه في الحالة الثانية.

2. الدوال الأصلية لـ ⁦f+g⁩ و kf

خاصّية: إذا كانت F و G دالتين أصليتين على الترتيب للدالتين f و g على نفس المجال I، فإنّ الدالة ⁦F+G⁩ دالة أصلية للدالة ⁦f+g⁩ على I.

خاصّية: إذا كانت F دالة أصلية للدالة f على المجال I، و k عدد حقيقي، فإنّ الدالة kF دالة أصلية للدالة kf على I.

3. الدوال الأصلية و العمليات على الدوال (دالة مركّبة u)

لتكن u دالة قابلة للاشتقاق على مجال I. الجدول الآتي يعطي الدوال الأصلية لأشكال مركّبة انطلاقا من u و مشتقّتها ⁦u′⁩:

جدول الدوال الأصلية للأشكال المركّبة

f	دالة أصلية على I	الشرط على u
⁦u′u⁩	⁦u²2 + c⁩	بدون شرط
⁦u′uⁿ (n∈ℕ*)⁩	⁦uⁿ⁺¹n+1 + c⁩	بدون شرط
⁦u′u²⁩	⁦−1u + c⁩	⁦u(x) ≠ 0⁩ على I
⁦u′uⁿ (n≥2)⁩	⁦−1(n−1)uⁿ⁻¹ + c⁩	⁦u(x) ≠ 0⁩ على I
⁦u′√u⁩	⁦2√u + c⁩	⁦u(x) > 0⁩ على I

⭐ الطريقة، في ثلاث خطوات: ① لاحظ إن كانت f تُكتب على أحد الأشكال ⁦u′uⁿ⁩ أو ⁦u′/uⁿ⁩ أو ⁦u′/√u⁩، مع تحديد عبارة ⁦u(x)⁩. ② احسب ⁦u′(x)⁩ ثمّ عيّن عددا حقيقيا k بحيث تصير f مساوية لـ k مضروبا في الشكل. ③ طبّق قاعدة الجدول المناسبة، مضروبة في نفس العدد k.

مخطّط بثلاث خطوات متتالية لتعيين دالة أصلية بصيغة مركّبة: تحديد u، ثمّ حساب مشتقّتها و المعامل العددي، ثمّ تطبيق القاعدة المناسبة. — ⭐ نفس الخطوات الثلاث تُطبَّق في الحالات الثلاث: ⁦u′uⁿ⁩ و ⁦u′/uⁿ⁩ و ⁦u′/√u⁩.

4. أمثلة على دوال مألوفة

مثال 2: دالة أصلية لكثير حدود

🎯المطلوب: عيّن دالة أصلية على المجال ⁦I = ℝ⁩ للدالة f المعرّفة أعلاه.

📌المعطى

f(x) = x³ − 3x + 5

🔹الخطوة 1: تطبيق الجدول حدّا بحدّ

نطبّق الجدول حدّا بحدّ، ثمّ نجمع النتائج.

F(x)=x⁴4 − 3 × x²2 + 5x

✅النّتيجة

F(x)=x⁴4 − 3x²2 + 5x

مثال 3: دالة أصلية لمقلوب قوّة مضروب في عدد

🎯المطلوب: عيّن دالة أصلية على المجال ⁦I = ]−∞;0[⁩ للدالة g المعرّفة أعلاه.

📌المعطى

g(x) = 2x²

🔹الخطوة 1: تطبيق الجدول ⁦(n = 2)⁩

نطبّق سطر ⁦1/x²⁩ من الجدول، مضروبا في المعامل 2.

G(x) = 2 × (−1x)

⭐ عندما يكون f مضروبا في ثابت، طبّق الجدول على الجزء المألوف ثمّ اضرب الناتج في نفس الثابت — لا تُعِد اشتقاق شيء جديد.

مثال 4: دالة أصلية لمجموع حدّين من الجدول

🎯المطلوب: عيّن دالة أصلية على المجال ⁦I = ]0;+∞[⁩ للدالة h المعرّفة أعلاه.

📌المعطى

h(x)=3x³ − 1√x

🔹الخطوة 1: الحدّ الأوّل ⁦(n = 3)⁩

الحدّ الأوّل من شكل ⁦1/x³⁩ مضروب في 3.

3 × (−12x²) = −32x²

🔹الخطوة 2: الحدّ الثاني

الحدّ الثاني من شكل ⁦1/√x⁩ مضروب في ⁦−1⁩.

−1 × 2√x = −2√x

✅النّتيجة

H(x) = −32x² − 2√x

5. أمثلة على دوال مركّبة

مثال 5: دالة أصلية بصيغة ⁦u′uⁿ⁩

🎯المطلوب: عيّن دالة أصلية على ℝ للدالة f المعرّفة أعلاه.

📌المعطى

f(x)=(x + 1)(x² + 2x + 5)²

🔹الخطوة 1: تحديد u و حساب ⁦u′⁩

نحدّد u بالنظر إلى الجزء المرفوع للقوّة، ثمّ نحسب مشتقّتها.

u(x) = x² + 2x + 5 ⟹ u'(x) = 2x + 2

🔹الخطوة 2: الرّبط مع ⁦u′⁩

نقارن الحدّ ⁦x+1⁩ بنصف ⁦u′(x)⁩ لإيجاد المعامل الناقص.

x + 1 = (12) × u'(x)

✅النّتيجة

F(x)=(x² + 2x + 5)³6

⭐ إذا كانت f من الشكل ⁦u′⁩ مضروبة في قوّة لـ u، طبّق قاعدة الجدول على القوّة التالية لنفس الأسّ، ثمّ اضرب الناتج في المعامل الناقص الذي وجدته.

مثال 6: دالة أصلية بصيغة ⁦u′/√u⁩

🎯المطلوب: عيّن دالة أصلية على ℝ للدالة g المعرّفة أعلاه.

📌المعطى

g(x) = 3x√(x² + 1)

🔹الخطوة 1: تحديد u و حساب ⁦u′⁩

نحدّد u بالنظر إلى ما تحت الجذر، ثمّ نحسب مشتقّتها.

u(x) = x² + 1 ⟹ u'(x) = 2x

🔹الخطوة 2: الرّبط مع ⁦u′⁩

نقارن الحدّ 3x بمضاعف ⁦u′(x)⁩ لإيجاد المعامل.

3x = (32) × u'(x)

✅النّتيجة

G(x) = 3√(x² + 1)

⚠️ لا تُغفل الشرط على u في السطرين الأخيرين من جدول الأشكال المركّبة (⁦u(x) ≠ 0⁩ أو ⁦u(x) > 0⁩): هذا الشرط يحدّد مجموعة التعريف الصحيحة للدالة الأصلية، و ليس تفصيلا يمكن تجاوزه.

في البكالوريا يأتي هذا الدرس في سؤال: «عيّن دالّة أصلية للدالّة f على المجال I»، و f إمّا مجموع دوالّ مألوفة، وإمّا شكل مركّب انطلاقا من دالّة u. جهّز ثلاثة عناصر: ① الجدول الأوّل حدّا بحدّ مع خاصّيتي المجموع والجداء بعدد: ⁦xⁿ ← xⁿ⁺¹/(n+1)⁩، و ⁦1/x² ← −1/x⁩، و ⁦1/√x ← 2√x⁩ ؛ ② الأشكال المركّبة: ⁦u′uⁿ ← uⁿ⁺¹/(n+1)⁩، و ⁦u′/u² ← −1/u⁩، و ⁦u′/√u ← 2√u⁩ ؛ ③ الطريقة في ثلاث خطوات: حدّد u واحسب ⁦u′⁩، ثمّ عيّن العدد k الذي يجعل f مساوية لـ k مضروبا في الشكل، ثمّ طبّق سطر الجدول مضروبا في k. ⚠️ الخطأ الشائع: تطبيق القاعدة دون المعامل الناقص ؛ إن كانت ⁦u′ = 2x⁩ ولم يكن في f إلّا x، فالمعامل ⁦1/2⁩. ⚠️ وخطأ ثانٍ: إغفال الشرط على u، أي ⁦u(x) ≠ 0⁩ أو ⁦u(x) > 0⁩ على I، وهو الذي يحدّد مجموعة تعريف الدالّة الأصلية. وتحقّق دائما باشتقاق النتيجة.

الخلاصة: كلّ دالة أصلية تُبنى بقراءة قاعدة اشتقاق بالمقلوب. إن كانت الدالة مألوفة، طبّق الجدول الأوّل حدّا بحدّ. و إن كانت مركّبة انطلاقا من دالة u، حدّد u و مشتقّتها، استخرج المعامل العددي الناقص، ثمّ طبّق سطر الجدول الثاني المناسب مضروبا في هذا المعامل.

Page 1/10