Mathématiques🎓 objectif bac

الدوال الأصلية والتكاملات

تطبيق اقتصادي: العلاقة بين الكلفة الهامشية و الكلفة الإجمالية

🔊 La maîtresse lit pour toi

تُنتج ورشة كمية q من سلعة ما، و لكلّ وحدة إضافية تُنتج كلفة تُسمّى الكلفة الهامشية، و هي دالة معلومة عادة. لكنّ ما يهمّ المسيّر أكثر هو الكلفة الإجمالية لكامل الإنتاج، و هذه لا تُعطى مباشرة. فكيف ننتقل من معرفة الكلفة الهامشية إلى تعيين عبارة الكلفة الإجمالية، ثمّ إلى الكلفة المتوسطة للوحدة الواحدة؟

الجواب يقوم على فكرة واحدة: الكلفة الإجمالية C دالة أصلية للكلفة الهامشية Cₘ، لأنّ الكلفة الهامشية تقيس بالضبط الزيادة في الكلفة عند إنتاج وحدة إضافية، أي مشتقّة الكلفة الإجمالية بالنسبة للكمية. و الشرط الذي يعيّن الدالة الأصلية الوحيدة المطلوبة هو معرفة قيمة الكلفة الإجمالية عند ⁦q = 0⁩، أي المصاريف الثابتة — تلك التي تتحمّلها المؤسّسة حتّى لو أنتجت صفر وحدة.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

تعيين عبارة الكلفة الإجمالية بدلالة الكمية q، انطلاقا من الكلفة الهامشية و من المصاريف الثابتة
تعيين عبارة الكلفة المتوسطة بدلالة q، بقسمة الكلفة الإجمالية على الكمية، و دراسة اتجاه تغيّرها
تعيين الكمية q التي تجعل الكلفة المتوسطة أصغر ما يمكن، بدراسة إشارة مشتقّتها
تفسير المساواة بين الكلفة الهامشية و الكلفة المتوسطة عند نقطة الأدنى

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

تعيين دالة أصلية لدالة كثير حدود على مجال معطى
تعيين الدالة الأصلية التي تحقّق شرطا ابتدائيا معيّنا: ⁦F(x₀) = y₀⁩
دراسة إشارة عبارة على شكل حاصل ضرب أو خارج، و استعمال المميّز Δ

1. من الكلفة الهامشية إلى الكلفة الإجمالية

نقبل في هذا التطبيق أنّ الدالة « الكلفة الإجمالية » C دالة أصلية للدالة « الكلفة الهامشية » Cₘ على مجال الإنتاج المدروس. و بما أنّ ⁦C(0)⁩ هي الكلفة الإجمالية لإنتاج صفر وحدة، فهي بالضبط المصاريف الثابتة للمؤسّسة.

العلاقة الأساسية

⭐ الكلفة الإجمالية دالة أصلية للكلفة الهامشية، فتعيين ⁦C(q)⁩ هو بحث عن دالة أصلية تحقّق شرطا ابتدائيا هو قيمة المصاريف الثابتة.

C′(q) = Cₘ(q)

Cالكلفة الإجمالية لإنتاج الكمية q، بـ DACₘالكلفة الهامشية، أي كلفة إنتاج وحدة إضافية، بـ DA

مثال 1: من الكلفة الهامشية إلى الكلفة الإجمالية

تنتج إحدى الوحدات منتوجا بكمية q حيث ⁦0 ≤ q ≤ 100⁩. الكلفة الهامشية المقدّرة بـ DA لإنتاج وحدة إضافية هي ⁦Cₘ(q) = (9/100) q² − (46/10) q + 65⁩، و المصاريف الثابتة للوحدة تقدّر بـ ⁦250 DA⁩.

🎯المطلوب: عيّن عبارة الكلفة الإجمالية ⁦C(q)⁩ بدلالة q على المجال ⁦[0;100]⁩.

🔹الخطوة 1: الشكل العامّ لدالة أصلية لـ Cₘ

الكلفة الإجمالية دالة أصلية للكلفة الهامشية، فنبحث عن الشكل العامّ للدوال الأصلية لعبارة من الدرجة الثانية.

C(q)=(3100) q³ − (2310) q² + 65 q + k

🔹الخطوة 2: التحقّق بالاشتقاق

نتحقّق أنّ مشتقّة هذا الشكل تعطي فعلا العبارة المعطاة للكلفة الهامشية، حدّا حدّا.

C′(q)=(9100) q² − (4610) q + 65

🔹الخطوة 3: الشرط الابتدائي

قيمة C عند ⁦q = 0⁩ هي بالضبط المصاريف الثابتة المعطاة في النصّ، أي ⁦250 DA⁩.

C(0)=k=250

✅النّتيجة: عبارة الكلفة الإجمالية

نعوّض قيمة k المحصّل عليها في الشكل العامّ، فنحصل على عبارة الكلفة الإجمالية كاملة.

C(q)=(3100) q³ − (2310) q² + 65 q + 250

⭐ لا تنس الشرط الابتدائي: بدونه، توجد ما لا نهاية من الدوال الأصلية، تختلف فيما بينها بثابت فقط. المصاريف الثابتة هي بالضبط ما يعيّن هذا الثابت.

2. من الكلفة الهامشية إلى الكلفة المتوسطة

نأخذ الآن حالة ثانية بمعطيات مختلفة، لنُتمّم المسار إلى الكلفة المتوسطة، أي كلفة الوحدة الواحدة عند إنتاج q وحدة. تُعرَّف الكلفة المتوسطة بقسمة الكلفة الإجمالية على الكمية المنتَجة.

تعريف الكلفة المتوسطة

الكلفة المتوسطة تقيس كم تكلّف الوحدة الواحدة في المتوسّط إذا وزّعنا الكلفة الإجمالية على كلّ الوحدات المنتجة.

C_M(q) = C(q)q

C_Mالكلفة المتوسطة للوحدة الواحدة، بـ DA

مثال 2: تعيين الكلفة الإجمالية في الحالة الثانية

تنتج إحدى الوحدات منتوجا بكمية q حيث ⁦0 ≤ q ≤ 15⁩. الكلفة الهامشية لإنتاج وحدة إضافية معرّفة على المجال ⁦[0;15]⁩ بـ ⁦Cₘ(q) = 3 q² − 36 q + 750⁩، و المصاريف الثابتة تقدّر بـ ⁦200 DA⁩.

🎯المطلوب: عيّن بدلالة q عبارة الكلفة الإجمالية ⁦C(q)⁩ على المجال ⁦[0;15]⁩.

🔹الخطوة 1: الشكل العامّ

نفس المسار السابق: نبحث عن الشكل العامّ لدالة أصلية للعبارة المعطاة.

C(q)=q³ − 18 q² + 750 q + k

🔹الخطوة 2: الشرط الابتدائي

قيمة C عند ⁦q = 0⁩ هي المصاريف الثابتة المعطاة، أي ⁦200 DA⁩.

C(0)=k=200

✅النّتيجة: عبارة الكلفة الإجمالية

C(q)=q³ − 18 q² + 750 q + 200

مثال 3: دراسة اتجاه تغيّر الكلفة المتوسطة

🎯المطلوب: أدرس إشارة مشتقّة الكلفة المتوسطة على المجال ⁦]0;15]⁩، ثمّ استنتج اتجاه تغيّرها.

🔹الخطوة 1: عبارة الكلفة المتوسطة

C_M(q)=q² − 18 q + 750 + 200q

🔹الخطوة 2: مشتقّة الكلفة المتوسطة

نشتقّ الحدّ الأخير كخارج: مشتقّة ⁦1/q⁩ تساوي ⁦−1/q²⁩، فمشتقّة ⁦200/q⁩ تساوي ⁦−200/q²⁩.

C_M′(q)=2q − 18 − 200q²

🔹الخطوة 3: توحيد المقام

نضع كلّ الحدود على نفس المقام q² لنحصل على خارج واحد قابل لدراسة إشارته.

C_M′(q)=2 q³ − 18 q² − 200q²

🔹الخطوة 4: تحليل البسط

نبحث عن عامل مشترك للبسط: نجرّب ⁦q = 10⁩ فنجد أنّه يلغي البسط، فنُخرج العامل ⁦(q − 10)⁩.

2 q³ − 18 q² − 200=2(q − 10)(q² + q + 10)

🔹الخطوة 5: إشارة العامل الثاني

مميّز العبارة ⁦q² + q + 10⁩ يساوي ⁦1 − 40 = −39⁩، و هو سالب تماما، فالعبارة تبقى موجبة تماما مهما كانت قيمة q.

Δ = 1² − 4×1×10 = −39 < 0 ⟹ q² + q + 10 > 0

✅النّتيجة: نقطة انعدام المشتقّة

بما أنّ ⁦q² > 0⁩ دائما و العامل الثاني موجب تماما دائما، فإشارة مشتقّة الكلفة المتوسطة هي بالضبط إشارة العامل ⁦(q − 10)⁩، الذي ينعدم عند ⁦q = 10⁩.

q − 10 = 0 ⟺ q = 10

✅النّتيجة: جدول تغيّرات الكلفة المتوسطة على ⁦]0;15]⁩

q	⁦]0 ; 10[⁩	10	⁦]10 ; 15]⁩
إشارة ⁦(q − 10)⁩	سالبة	0	موجبة
اتجاه تغيّر الكلفة المتوسطة	تناقص	أدنى قيمة	تزايد

الكلفة المتوسطة متناقصة على ⁦]0;10]⁩، ثمّ متزايدة على ⁦[10;15]⁩، فهي تبلغ أدنى قيمة لها عند ⁦q = 10⁩.

مثال 4: الكلفة المتوسطة الدنيا و الكلفة الهامشية عندها

🎯المطلوب: احسب الكلفة المتوسطة عند ⁦q = 10⁩، ثمّ الكلفة الهامشية عند نفس الكمية، و قارن بين القيمتين.

🔹الخطوة 1: الكلفة المتوسطة عند ⁦q = 10⁩

C_M(10)=10² − 18×10 + 750 + 20010=100 − 180 + 750 + 20

✅النّتيجة 1: قيمة الكلفة المتوسطة الدنيا

C_M(10) = 690 DA

🔹الخطوة 2: الكلفة الهامشية عند نفس الكمية

Cₘ(10)=3×10² − 36×10 + 750=300 − 360 + 750

✅النّتيجة 2: قيمة الكلفة الهامشية عند ⁦q = 10⁩

Cₘ(10) = 690 DA

في البكالوريا يأتي هذا الدرس في وضعية اقتصادية بأسئلة متسلسلة: «عيّن عبارة الكلفة الإجمالية ⁦C(q)⁩»، ثمّ «استنتج الكلفة المتوسطة وادرس اتّجاه تغيّرها»، ثمّ «عيّن الكمّية التي تجعلها أصغر ما يمكن». جهّز ثلاثة عناصر: ① الكلفة الإجمالية دالّة أصلية للكلفة الهامشية: ⁦C′(q) = Cₘ(q)⁩، والثابت يُعيَّن من المصاريف الثابتة، لأنّ ⁦C(0)⁩ هي بالضبط هذه المصاريف ؛ ② الكلفة المتوسطة: ⁦C_M(q) = C(q)/q⁩، ومشتقّة حدّ من الشكل ⁦a/q⁩ هي ⁦−a/q²⁩ ؛ ثمّ وحّد المقام وادرس إشارة البسط ؛ ③ الخاصّية العامّة: عند الكمّية التي تجعل الكلفة المتوسطة أصغر ما يمكن تتساوى الكلفة المتوسطة مع الكلفة الهامشية — وهي وسيلتك للتحقّق من نتيجتك. ⚠️ الخطأ الشائع: نسيان الثابت أو جعله صفرا، والصحيح أنّه يساوي المصاريف الثابتة. ⚠️ وخطأ ثانٍ: الخلط بين الكلفة المتوسطة C_M والكلفة الهامشية Cₘ لتشابه الرمزين.

⭐ عند الكمية التي تجعل الكلفة المتوسطة أصغر ما يمكن، تتساوى الكلفة المتوسطة مع الكلفة الهامشية. هذه ليست صدفة حسابية في هذا المثال وحده: هي خاصّية عامّة في تحليل الكلف، و تعني اقتصاديّا أنّ إنتاج الوحدة الإضافية عند هذه الكمية بالذات لا يرفع و لا يخفض متوسّط كلفة الوحدة.

Page 1/7

📍 Dans l'année