Mathématiques🎓 objectif bac

الدوال اللوغاريتمية والأسية

دراسة دوال من الشكل ⁦ln ∘ u⁩

🔊 La maîtresse lit pour toi

عندما تكون عبارة الدالة على الشكل ⁦ln[u(x)]⁩ حيث u عبارة جبرية بسيطة (كسر، جذر، كثير حدود)، لا حاجة للعودة في كل مرة إلى تعريف ln بالتكامل: يكفي معرفة خواص u وحدها. كيف نحسب نهايات دالة من الشكل ln∘u، و نستنتج اتجاه تغيرها و مشتقتها، انطلاقا من الدالة u فقط؟

الدالة ln∘u ترفق بكل x من مجموعة تعريفها العدد ⁦ln[u(x)]⁩. و بما أن ln معرفة فقط على الأعداد الموجبة تماما، فإن مجموعة تعريف ln∘u هي مجموعة قيم x التي تجعل ⁦u(x)⁩ موجبا تماما.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

حساب نهاية دالة من الشكل ln∘u باستعمال مبرهنة نهاية دالة مركبة
استنتاج اتجاه تغير دالة ln∘u من اتجاه تغير الدالة u الموجبة تماما
حساب مشتقة دالة من الشكل ln∘u بالصيغة ⁦(ln∘u)′=u′/u⁩
تعيين دالة أصلية لعبارة من الشكل ⁦u′(x)/u(x)⁩

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

نهايتا دالة اللوغاريتم النيبيري ln عند 0 موجبا و عند زائد ما لا نهاية
مبرهنة نهاية دالة مركبة
اشتقاق دالة مركبة

1. نهايات دالة ln∘u

لدراسة نهاية دالة ln∘u عند نقطة أو عند طرف مجموعة التعريف، نحسب أولا نهاية العبارة الداخلية u، ثم نطبق نهاية ln عند القيمة الموجودة.

مثال 1: نهايتا دالة ⁦ln(x−2)⁩

نعتبر الدالة f المعرفة على المجال ⁦]2;+∞[⁩ بـ ⁦f(x) = ln(x − 2)⁩.

🎯المطلوب: احسب نهايتي الدالة f عند طرفي مجموعة تعريفها.

🔹الخطوة 1: نهاية u عند 2

نبدأ بحساب نهاية العبارة الداخلية عند 2.

lim_x→2 (x − 2) = 0

✅النّتيجة الأولى

و بما أن نهاية ln عند 0 موجبا تساوي ناقص ما لا نهاية، نستعمل مبرهنة نهاية دالة مركبة.

lim_{x→2, x>2} ln(x − 2) = −∞

🔹الخطوة 2: نهاية u عند +∞

ننتقل الآن إلى نهاية u عند زائد ما لا نهاية.

lim_x→+∞ (x − 2) = +∞

✅النّتيجة الثانية

و بما أن نهاية ln عند زائد ما لا نهاية تساوي زائد ما لا نهاية، نستنتج:

lim_x→+∞ ln(x − 2) = +∞

⭐ في كل مرة، احسب أولا نهاية u وحدها، ثم طبّق نهاية ln عند القيمة الموجودة: 0 موجبا يعطي ناقص ما لا نهاية، و زائد ما لا نهاية يبقى زائد ما لا نهاية.

2. اتجاه التغيرات

خاصية اتجاه التغير: إذا كانت u موجبة تماما على مجال I، فإن لِـ u و ln∘u نفس اتجاه التغير على I — لأن ln متزايدة تماما، تركيبها مع دالة موجبة تماما لا يغيّر اتجاه تغير هذه الدالة.

مثال 2: اتجاه تغير دالة ⁦ln(3/(x−1))⁩

نعتبر الدالة f المعرفة على ⁦]1;+∞[⁩ بـ ⁦f(x) = ln(3/(x − 1))⁩.

🎯المطلوب: بيّن أن الدالة f متناقصة تماما على مجموعة تعريفها.

🔹الخطوة 1: تحديد u

نحدد أولا العبارة الداخلية u.

u(x) = 3x − 1

🔹الخطوة 2: مشتقة u

نحسب مشتقة u على هذا المجال.

u′(x) = −3(x − 1)²

✅النّتيجة

لأن ⁦(x−1)²⁩ موجب تماما على هذا المجال، فإشارة ⁦u′⁩ هي إشارة ⁦−3⁩.

u′(x) < 0

⭐ لا حاجة لحساب مشتقة f مباشرة: يكفي معرفة اتجاه تغير u و التأكد أنها موجبة تماما.

u إذن متناقصة تماما و موجبة تماما على هذا المجال، فالدالة f متناقصة تماما على ⁦]1;+∞[⁩ بالخاصية السابقة.

3. المشتقة و الدوال الأصلية

خاصية الاشتقاق

u دالة قابلة للاشتقاق و موجبة تماما على مجال I: نطبق مبرهنة مشتقة دالة مركبة على ln∘u.

(ln∘u)′(x) = u′(x)u(x)

الدالة الأصلية المرافقة

الدالة ⁦x↦ln[u(x)]⁩ هي إذن دالة أصلية للدالة ⁦x↦u′(x)/u(x)⁩ على I.

F(x) = ln[u(x)] ⟹ F′(x) = u′(x)u(x)

مثال 3: مشتقة دالة ⁦ln(x²+x+1)⁩

نعتبر الدالة f المعرفة على ℝ بـ ⁦f(x) = ln(x²+x+1)⁩ (العبارة ⁦x²+x+1⁩ موجبة تماما دائما لأن مميزها سالب).

🎯المطلوب: احسب مشتقة الدالة f.

📌المعطى

نحدد العبارة الداخلية u.

u(x) = x² + x + 1

🔹الخطوة 1: مشتقة u

نحسب مشتقتها.

u′(x) = 2x + 1

✅النّتيجة

نطبق الصيغة ⁦(ln∘u)′=u′/u⁩.

f′(x)=2x + 1x² + x + 1

مثال 4: دالة أصلية للدالة ⁦2/(2x+1)⁩

نعتبر الدالة f المعرفة على ⁦]−1/2;+∞[⁩ بـ ⁦f(x) = 2/(2x + 1)⁩.

🎯المطلوب: عيّن دالة أصلية للدالة f على مجموعة تعريفها.

🔹الخطوة 1: تعيين u

نلاحظ أن ⁦2x+1⁩ موجبة تماما على هذا المجال.

u(x) = 2x + 1

🔹الخطوة 2: مشتقة u

مشتقتها ثابتة.

u′(x) = 2

🔹الخطوة 3: كتابة f بدلالة u

f تكتب على الشكل ⁦u′/u⁩ بالضبط.

f(x) = u′(x)u(x)

✅النّتيجة

و بما أن دالة أصلية لـ ⁦u′/u⁩ هي ln∘u، فإن:

F(x) = ln(2x + 1)

4. نهاية فرق دالتين لوغاريتميتين

مثال 5: نهاية ⁦ln(x²+1) − ln(x²−1)⁩ عند +∞

نعتبر الدالة f المعرفة على ⁦]1;+∞[⁩ بـ ⁦f(x) = ln(x²+1) − ln(x²−1)⁩.

🎯المطلوب: أدرس نهاية الدالة f عند زائد ما لا نهاية.

📌المعطى

عند زائد ما لا نهاية، كل من الحدين يؤول إلى زائد ما لا نهاية: حالة عدم تعيين.

f(x)=ln(x² + 1) − ln(x² − 1)

🔹الخطوة 1: تجميع اللوغاريتمين

نجمع الحدين في لوغاريتم واحد بخاصية الفرق.

f(x)=ln(x² + 1x² − 1)

🔹الخطوة 2: نهاية النسبة الداخلية

البسط و المقام من نفس الدرجة، فنسبتهما تؤول إلى نسبة معاملي الحد الأعلى درجة.

lim_x→+∞ x² + 1x² − 1 = 1

✅النّتيجة

و بما أن نهاية ln عند 1 تساوي 0، نستنتج:

lim_x→+∞ f(x) = 0

⭐ أمام فرق لوغاريتمين يعطي حالة عدم تعيين، اجمعهما دائما أولا في لوغاريتم واحد.

لا تخلط بين ln∘u (تركيب: نحسب u ثم نأخذ لوغاريتمها) و بين ⁦ln(x)×u(x)⁩ (جداء): لكل منهما قاعدة اشتقاق مختلفة تماما.

⚠️ قبل حساب أي نهاية أو مشتقة لدالة ln∘u، تحقق دائما أن u موجبة تماما على المجال المدروس؛ فإذا لم تكن كذلك فالدالة ln∘u غير معرفة هناك.

مخطط آلة على ثلاث خطوات يبين كيف تُبنى الدالة ln∘u: ندخل x، فتخرج الآلة الوسطى ⁦u(x)⁩، ثم تدخل هذه القيمة في آلة ln فتخرج القيمة النهائية ⁦ln[u(x)]⁩. — الدالة ln∘u تُحسب على خطوتين: أولا ⁦u(x)⁩، ثم لوغاريتمها النيبيري — و هذا هو معنى رمز التركيب ∘. الشرط الوحيد في كل خطوة: أن يبقى ⁦u(x)⁩ موجبا تماما.

في البكالوريا يأتي هذا الدرس في دراسة دالّة من الشكل ⁦ln[u(x)]⁩: «عيّن مجموعة التعريف، واحسب النهايات، وادرس اتّجاه التغيّر»، وقد يُطلب «دالّة أصلية لعبارة من الشكل ⁦u′/u⁩». جهّز ثلاثة عناصر: ① الشرط أوّلا: u موجبة تماما على المجال المدروس، وإلّا فالدالّة غير معرّفة هناك ؛ ② النهايات بمبرهنة نهاية دالّة مركّبة: احسب نهاية u، ثمّ نهاية ln عندها ؛ وحالة عدم التعيين في فرق لوغاريتمين تُرفع بجمعهما في لوغاريتم واحد: ⁦ln A − ln B = ln(A/B)⁩ ؛ ③ المشتقّة والأصلية: ⁦(ln∘u)′ = u′/u⁩، واتّجاه تغيّر ln∘u هو اتّجاه تغيّر u لأنّ ln متزايدة تماما ؛ ومن الصيغة نفسها تكون ⁦ln[u(x)]⁩ دالّة أصلية لـ ⁦u′/u⁩. ⚠️ الخطأ الشائع: حساب النهاية أو المشتقّة قبل التحقّق من أنّ u موجبة تماما. ⚠️ وخطأ ثانٍ: الخلط بين ln∘u (تركيب) و ⁦ln(x) × u(x)⁩ (جداء) ؛ لكلّ منهما قاعدة اشتقاق مختلفة تماما.

الخلاصة: لدراسة دالة ln∘u حيث u موجبة تماما على مجال I، نحسب نهاياتها بمبرهنة نهاية دالة مركبة (ننتقل من نهاية u إلى نهاية ln عندها)، و نستنتج اتجاه تغيرها من اتجاه تغير u وحدها لأن ln متزايدة تماما، و نشتقها بالصيغة ⁦(ln∘u)′=u′/u⁩ — و هذه الصيغة نفسها هي مفتاح البحث عن دالة أصلية لأي عبارة من الشكل ⁦u′/u⁩.

Page 1/7