الدوال اللوغاريتمية والأسية
الدالة اللوغاريتمية ذات الأساس a و اللوغاريتم العشري
دالة اللوغاريتم للأساس a تعمم دالة ln: فهي في الحقيقة ln معادة القياس بثابت يعتمد على a. و أهم حالتين في التطبيقات هما a=e (نجد ln نفسها) و a=10 (اللوغاريتم العشري).
- تعريف دالة اللوغاريتم للأساس a بدلالة الدالة ln
- معرفة الخواص الجبرية للوغاريتم بالأساس a و اتجاه تغيرها حسب قيمة a
- تعريف اللوغاريتم العشري كحالة خاصة عندما يكون الأساس 10
- استعمال اللوغاريتم العشري لتعيين عدد الأرقام في الكتابة العشرية لعدد طبيعي
- تعريف و خواص دالة اللوغاريتم النيبيري ln (الجمع، الفرق، القوة)
- اتجاه تغير دالة مركبة
- القسمة الإقليدية و الجزء الصحيح لعدد حقيقي
1. تعريف دالة اللوغاريتم للأساس a
الشرط a≠1 ضروري لأن ln(1)=0 يجعل القسمة غير معرفة، و a يجب أن يكون موجبا تماما لكي يكون له لوغاريتم نيبيري. الدالة اللوغاريتمية بهذا الأساس معرفة، مثل ln، على الأعداد الموجبة تماما.
لأن ln(e)=1، فإن القسمة على ln(a) لا تغيّر شيئا: دالة اللوغاريتم للأساس e هي ln نفسها.
عندما يكون الأساس a يساوي 10، تسمى الدالة اللوغاريتمية بهذا الأساس دالة اللوغاريتم العشري و نرمز إليها بالرمز log وحده (بدون كتابة الأساس).
2. الخواص الجبرية للوغاريتم بالأساس a
هذه الخواص تُستنتج مباشرة من خواص ln، بقسمة كل حد على ln(a).
3. اتجاه التغيرات و التمثيل البياني
بما أن اللوغاريتم بالأساس a يساوي ln(x) مضروبة في الثابت 1/ln(a)، فإن إشارة ln(a) هي التي تحدد اتجاه تغير هذه الدالة.
إذن اللوغاريتم بالأساس a متناقص تماما إذا كان a بين 0 و 1، و متزايد تماما إذا كان a أكبر من 1.
| x | 0 | 1 | a | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| loga(x) | −∞ | 0 | 1 | +∞ |
نعتبر المعادلة logb(2x + 2) = logb(x + 3)، حيث الأساس b أصغر من 1.
🎯المطلوب: حلّ هذه المعادلة.
نرمز للأساس بـ b لتفادي كتابته كسرا في كل مرة.
يشترط أن يكون الطرف الأول موجبا تماما.
و كذلك الطرف الثاني.
نأخذ تقاطع الشرطين.
بما أن اللوغاريتم بهذا الأساس متباين تماما (b مختلف عن 1)، فمساواة الصورتين تعني مساواة الأصلين.
نتحقق أن الحل ينتمي إلى D.
نعتبر المتراجحة logb(2x + 2) > logb(x + 3) بنفس الأساس b=0,5 من المثال السابق.
🎯المطلوب: حلّ هذه المتراجحة.
نستعمل نفس الأساس من المثال السابق.
و نفس مجموعة التعريف من المثال السابق.
بما أن b أصغر من 1، فاللوغاريتم بهذا الأساس متناقص تماما، فهذه المتراجحة بين الصورتين تعكس المتراجحة بين الأصلين.
نبسط هذه المتراجحة.
نأخذ تقاطع هذا الحل مع مجموعة التعريف D.
نعتبر المعادلة 2×[log(x)]²+log(x)−6=0 (log هو اللوغاريتم العشري).
🎯المطلوب: حلّ هذه المعادلة.
نضع X = log(x) لتحويل المعادلة إلى معادلة من الدرجة الثانية في X.
بالتعويض X=log(x) نحصل على معادلة الدرجة الثانية التالية.
نحسب المميز.
جذر المميز موجب، فللمعادلة حلان.
و الحل الثاني.
من X′=−2 نستنتج x بتعريف log مباشرة.
من X″=3/2 نكتب log بدلالة ln ثم نرفع الطرفين إلى القوة 2.
نأخذ الجذر الموجب لأن x يجب أن يكون موجبا تماما.
نعتبر الدالة f المعرّفة على ]1;+∞[ بـ f(x) = log₂(x − 1) − k، حيث k عدد حقيقي ثابت.
🎯المطلوب: عيّن اتجاه تغير الدالة f.
نشتق العبارة اللوغاريتمية بالأساس 2 بتطبيق مشتقة اللوغاريتم بالأساس a المرفقة بمشتقة دالة مركبة.
x−1 موجب تماما على هذا المجال، و ln(2) موجب تماما، فالمقام كله موجب تماما.
مشتقة f موجبة تماما على ]1;+∞[، إذن f متزايدة تماما على هذا المجال.
4. اللوغاريتم العشري و عدّ الأرقام
نعلم أنه لكل عدد طبيعي غير معدوم N، يوجد عدد طبيعي وحيد n يحقق 10n ≤ N < 10n⁺¹، و n+1 هو بالضبط عدد الأرقام في الكتابة العشرية لِـ N.
نعتبر العدد الطبيعي N = 2006 مرفوعا للأس 2007.
🎯المطلوب: عيّن عدد الأرقام في الكتابة العشرية للعدد N.
نحسب اللوغاريتم العشري للأساس ثم نضربه في الأس.
نأخذ الجزء الصحيح من هذا العدد.
نطبق الخاصية d(N) = 1+E(log(N)).
نعتبر مستطيلا رؤوسه O أصل المعلم، A(x;0)، B(x;log(x))، و x>1 (لكي يكون log(x)>0 و الشكل مستطيلا حقيقي الأبعاد).
🎯المطلوب: احسب بدلالة x محيط هذا المستطيل.
النقطة C يجب أن تجعل من الشكل الرباعي مستطيلا، أي أن يكون شعاع OC مساويا لشعاع AB.
طول الضلع الأفقي هو الفاصلة x، و طول الضلع الرأسي هو log(x) (لـ x>1).
محيط المستطيل يساوي ضعف مجموع طولي ضلعين متتاليين.
Page 1/11
© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net