Mathématiques🎓 objectif bac

الدوال اللوغاريتمية والأسية

الدراسة و التمثيل البياني للدالة الأسية

🔊 La maîtresse lit pour toi

رأينا أنّ الدالة الأسية exp متزايدة تماما على ℝ، لكنّ هذا وحده لا يكفي لرسم منحناها: يلزمنا أن نعرف سلوكها عند طرفي مجال تعريفها ومشتقتها قبل أن نستطيع بناء جدول تغيراتها الكامل وتمثيلها البياني. فما هما نهايتا الدالة الأسية عند −∞ و+∞، وما هي مشتقتها، وكيف نستعمل هذا لدراسة دوال أخرى مبنية عليها؟

الأداتان اللتان تُبنى عليهما دراسة أي دالة هما نهاياتها عند طرفي مجالها ومشتقّتها. الدالة الأسية لا تشذّ عن هذه القاعدة، وما يميّزها هو أنّ مشتقّتها هي هي نفسها.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

حساب نهايتي الدالة الأسية عند −∞ و+∞
معرفة أنّ الدالة الأسية هي مشتقّة نفسها
إنشاء جدول تغيرات الدالة الأسية وتمثيلها البياني مع مماسها عند النقطة ذات الفاصلة 0
توظيف النهايتين والمشتقّة لدراسة نهايات وتغيرات دوال مبنية على الدالة الأسية

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

تعريف الدالة الأسية exp والرمز e^x، وكونها متزايدة تماما على ℝ
مشتقّة دالة مركّبة من الشكل ln∘u
معادلة المماس عند نقطة: ⁦y = f '(x₀)(x−x₀) + f(x₀)⁩

1. النهايات

خاصية: النهاية عند +∞

lim(x→+∞) e^x = +∞

خاصية: النهاية عند −∞

lim(x→−∞) e^x = 0

النهاية الأولى تُقبل دون برهان. أمّا الثانية فنبرهن عليها بتغيير متغيّر يرجعنا إلى الأولى.

البرهان: الخطوة 1 (تغيير المتغيّر)

X = −x

البرهان: الخطوة 2

e^x=e^−X=1e^X

البرهان: الخطوة 3

lim(x→−∞) X = +∞

البرهان: الخطوة 4

هذه هي النهاية الأولى المقبولة دون برهان، مطبّقة على المتغيّر X.

lim(X→+∞) e^X = +∞

البرهان: النتيجة

lim(X→+∞) 1e^X = 0 ⟹ lim(x→−∞) e^x = 0

2. مشتقّة الدالة الأسية

خاصية

exp '(x) = e^x

نبرهن على هذه الخاصية بدالة مساعدة ⁦f = ln∘exp⁩، ونستعمل أنّ مشتقّة ln∘u هي ⁦u '/u⁩.

تعريف الدالة المساعدة

f(x) = ln(e^x)

البرهان: الخطوة 1 (مشتقّة ln∘u)

f '(x) = exp '(x)e^x

البرهان: الخطوة 2

f(x)=ln(e^x)=x

البرهان: الخطوة 3

f '(x) = 1

البرهان: النتيجة

exp '(x)e^x = 1 ⟹ exp '(x) = e^x

والدالة الأسية متزايدة تماما على ℝ لأنّ e^x موجب تماما من أجل كل x، ودالة أصلية للدالة x ↦ e^x على ℝ هي الدالة x ↦ e^x نفسها.

3. جدول التغيرات والتمثيل البياني

✅النّتيجة: جدول تغيرات الدالة الأسية

x	−∞	0	+∞
⁦exp '(x)⁩		+
e^x	0	1	+∞

عند النقطة ذات الفاصلة 0، قيمة الدالة ومشتقّتها معروفتان معا، فنستطيع كتابة معادلة المماس هناك.

معادلة المماس عند ⁦x=0⁩

y = exp '(0)(x−0) + exp(0)

🔹الخطوة

exp '(0) = 1 ; exp(0) = 1

✅النتيجة

y = x + 1

منحنى الدالة الأسية ⁦y=eˣ⁩ يقترب من محور الفواصل يسارا دون أن يقطعه، ويمرّ بالنقطة ⁦(0;1)⁩، ومماسه عند هذه النقطة هو المستقيم ⁦(Δ): y=x+1⁩. — ⭐ محور الفواصل مقارب للمنحني عند −∞، والمماس ⁦(Δ)⁩ يلامس المنحني عند النقطة ⁦(0;1)⁩ فقط.

⭐ لاحظ التماثل بين الدالتين ln و exp: منحنى ln مقارب لمحور التراتيب عند 0، ومنحنى exp مقارب لمحور الفواصل عند −∞ — وهذا طبيعي لأنّ المنحنيين متناظران بالنسبة للمستقيم ⁦y=x⁩.

4. دراسة نهايات وتغيرات دوال مبنية على الدالة الأسية

مثال 1: نهايتا دالة وتغيراتها

لتكن f الدالة المعرّفة على ℝ بـ ⁦f(x) = 2 + e⁻²^x⁺³⁩.

🎯المطلوب: أدرس نهايتي الدالة f عند −∞ و+∞، ثمّ اتّجاه تغيّرها على ℝ.

📌المعطى

مجموعة تعريف f هي ℝ كلّها.

f(x) = 2 + e^−2x+3

🔹الخطوة 1: نهاية الأسّ عند −∞

عندما x تؤول إلى −∞، العبارة ⁦−2x+3⁩ تؤول إلى +∞.

lim(x→−∞) (−2x+3) = +∞

🔹الخطوة 2: نهاية ⁦e⁻²^x⁺³⁩ عند −∞

نستعمل النهاية exp عند +∞ على هذا الأسّ.

lim(x→−∞) e^−2x+3 = +∞

✅النتيجة

lim(x→−∞) f(x) = +∞

🔹الخطوة 3: نهاية الأسّ عند +∞

عندما x تؤول إلى +∞، العبارة ⁦−2x+3⁩ تؤول إلى −∞.

lim(x→+∞) (−2x+3) = −∞

🔹الخطوة 4: نهاية ⁦e⁻²^x⁺³⁩ عند +∞

نستعمل النهاية exp عند −∞ على هذا الأسّ.

lim(x→+∞) e^−2x+3 = 0

✅النتيجة

lim(x→+∞) f(x) = 2

🔹الخطوة 5: المشتقّة

f مشتقّة دالة مركّبة ⁦(e^u)′ = u′×e^u⁩ بـ ⁦u(x) = −2x+3⁩ و ⁦u′(x) = −2⁩.

f '(x) = −2 × e^−2x+3

✅النتيجة

العبارة ⁦e⁻²^x⁺³⁩ موجبة تماما من أجل كل x، والعامل ⁦−2⁩ سالب، ومنه f متناقصة تماما على ℝ.

f '(x) < 0

⭐ تحقّق دائما من التناسق: دالة متناقصة تماما لا يمكن أن تنطلق من قيمة أصغر وتنتهي بقيمة أكبر. هنا f تنطلق من +∞ وتنتهي بـ 2، وهذا يتّفق تماما مع تناقصها.

مثال 2: منحنى بثلاث مستقيمات مقاربة

لتكن f الدالة المعرّفة على ℝ* بـ ⁦f(x) = (e^x+1)/(e^x−1)⁩، وليكن ⁦(C)⁩ منحناها البياني.

🎯المطلوب: أدرس نهايات الدالة f عند أطراف مجموعة تعريفها، ثمّ استنتج المستقيمات المقاربة للمنحني ⁦(C)⁩، ثمّ بيّن أنّ f متناقصة تماما.

📌المعطى

مجموعة تعريف f هي ℝ* ، أي ℝ محذوفا منه الصفر.

f(x)=e^x+1e^x−1

🔹الخطوة 1: نهاية عند −∞

عندما x تؤول إلى −∞، البسط يؤول إلى 1 والمقام يؤول إلى ⁦−1⁩.

lim(x→−∞) e^x = 0

✅النتيجة

lim(x→−∞) f(x) = −1

🔹الخطوة 2: وضع e^x عاملا مشتركا

عند +∞ نحصل على حالة عدم تعيين ∞/∞، فنضع e^x عاملا مشتركا في البسط والمقام.

f(x)=e^x(1 + 1e^x)e^x(1 − 1e^x)

🔹الخطوة 3: تبسيط e^x

f(x)=1 + 1e^x1 − 1e^x

✅النتيجة

عندما x تؤول إلى +∞، ⁦1/e^x⁩ تؤول إلى 0.

lim(x→+∞) f(x) = 1

🔹الخطوة 4: نهايتا الطرفين عند 0

البسط يؤول إلى 2 وهو ثابت موجب، والمقام ⁦e^x−1⁩ يؤول إلى 0 مع تغيّر إشارته حول 0.

lim(x→0) (e^x+1) = 2 ; lim(x→0) (e^x−1) = 0

🔹الخطوة 5: إشارة المقام حول 0

e^x أصغر من 1 عندما x أصغر من 0، وأكبر من 1 عندما x أكبر من 0.

e^x < 1 ⟺ x < 0 ; e^x > 1 ⟺ x > 0

✅النتيجة

lim(x→0⁻) f(x) = −∞ ; lim(x→0⁺) f(x) = +∞

🔹الخطوة 6: المشتقّة

f مشتقّة حاصل قسمة: ⁦(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²⁩.

f '(x)=−2×e^x(e^x−1)²

✅النتيجة

البسط سالب تماما (العامل ⁦−2⁩ والعبارة e^x الموجبة) والمقام مربّع موجب تماما، ومنه f متناقصة تماما على كل من المجالين ⁦]−∞;0[⁩ و⁦]0;+∞[⁩.

f '(x) < 0

⭐ عندما تظهر حالة عدم تعيين ∞/∞ مع الدالة الأسية، ضع دائما e^x عاملا مشتركا في البسط والمقام: هذا يُرجع الحد الأكبر نموّا إلى المقام وينهي حالة عدم التعيين.

المستقيمات المقاربة

x = 0 ; y = −1 ; y = 1

مثال 3: نهاية بتغيير المتغيّر

لتكن f الدالة المعرّفة على ℝ بـ ⁦f(x) = e³^x⁻¹⁩.

🎯المطلوب: احسب نهاية الدالة f عند −∞.

📌المعطى

f(x) = e^3x−1

🔹الخطوة 1: تغيير المتغيّر

نضع ⁦X = 3x−1⁩ لنرجع إلى النهاية المعروفة لـ e^x عند −∞.

X = 3x − 1

🔹الخطوة 2: نهاية X عند −∞

lim(x→−∞) X = −∞

🔹الخطوة 3: النهاية المعروفة

lim(X→−∞) e^X = 0

✅النتيجة

lim(x→−∞) e^3x−1 = 0

⭐ كل نهاية أسّها عبارة من الدرجة الأولى في x تُحسم بنفس الحركة: نسمّي الأسّ X، نحسب نهايته، ثمّ نرجع إلى نهاية e^x المعروفة عند +∞ أو −∞.

مثال 4: معادلة المماس عند نقطة أخرى غير الصفر

ليكن ⁦(C)⁩ المنحني الممثّل للدالة الأسية في معلم متعامد ومتجانس.

🎯المطلوب: أوجد معادلة المماس للمنحني ⁦(C)⁩ عند النقطة ذات الفاصلة 1.

📌المعطى

f(x) = e^x ; x₀ = 1

🔹الخطوة 1: قيمة الدالة عند x₀

f(1) = e

🔹الخطوة 2: قيمة المشتقّة عند x₀

مشتقّة الدالة الأسية هي هي نفسها.

f '(1) = e

🔹الخطوة 3: الصيغة العامة لمعادلة المماس

y = f '(1)(x−1) + f(1)

🔹الخطوة 4: التعويض

y = e(x−1) + e

✅النتيجة

y = e x

⭐ نفس الصيغة تصلح عند أي نقطة x₀: احسب ⁦f(x₀)⁩ و⁦f '(x₀)⁩ أوّلا، ثمّ عوّض في ⁦y = f '(x₀)(x−x₀) + f(x₀)⁩. عند ⁦x₀=0⁩ نجد المماس ⁦y=x+1⁩ المعروف.

⛔ في الباكالوريا، دراسة نهاية دالة مبنية على e^x تبدأ دائما بتحديد نهاية الأسّ أوّلا، ثمّ تُطبَّق عليها نهاية exp عند +∞ أو −∞. وعند حالة عدم تعيين ∞/∞، الحركة القياسية هي وضع e^x عاملا مشتركا — وهي نفسها الحركة المستعملة مع كثير الحدود، لكن بعاملها الخاص.

الخلاصة: الدالة الأسية نهايتها +∞ عند +∞ و0 عند −∞، وهي مشتقّة نفسها ⁦exp '=exp⁩، فهي متزايدة تماما على ℝ من 0 إلى +∞، ومماسها عند النقطة ذات الفاصلة 0 هو ⁦y=x+1⁩. هذه الأدوات الثلاث — النهايتان والمشتقّة — هي كل ما يلزم لدراسة أي دالة مبنية على الدالة الأسية: نحدّد نهاية الأسّ أوّلا، ثمّ نطبّق نهاية exp عليه، ونشتقّ بقاعدة الدالة المركّبة ⁦(e^u)′=u′×e^u⁩.

Page 1/8

📍 Dans l'année

🟦 T1 · 🟩 T2 · 🟪 T3 · 📝 examens S14/27/36 · 🎓 bac

📌 À retenir

الخلاصة: الدالة الأسية نهايتها +∞ عند +∞ و0 عند −∞، وهي مشتقّة نفسها ⁦exp '=exp⁩، فهي متزايدة تماما على ℝ من 0 إلى +∞، ومماسها عند النقطة ذات الفاصلة 0 هو ⁦y=x+1⁩. هذه الأدوات الثلاث — النهايتان والمشتقّة — هي كل ما يلزم لدراسة أي دالة مبنية على الدالة الأسية: نحدّد نهاية الأسّ أوّلا، ثمّ نطبّق نهاية exp عليه، ونشتقّ بقاعدة الدالة المركّبة ⁦(e^u)′=u′×e^u⁩.

خاصية: النهاية عند +∞

lim(x→+∞) e^x = +∞

خاصية: النهاية عند −∞

lim(x→−∞) e^x = 0

البرهان: الخطوة 1 (تغيير المتغيّر)

X = −x

البرهان: الخطوة 2

e^x = e^−X = 1e^X

البرهان: الخطوة 3

lim(x→−∞) X = +∞

البرهان: الخطوة 4

lim(X→+∞) e^X = +∞

البرهان: النتيجة

lim(X→+∞) 1e^X = 0 ⟹ lim(x→−∞) e^x = 0

خاصية

exp '(x) = e^x