Mathématiques🎓 objectif bac

الدوال اللوغاريتمية والأسية

الخواص الجبرية للأسية و حل معادلات و متراجحات أسية

🔊 La maîtresse lit pour toi

لحل معادلة أو متراجحة تظهر فيها الدالة الأسية أكثر من مرّة، مثل جداء أو خارج لعدّة قوى للعدد e، لا يمكن عزل المجهول x مباشرة قبل تجميع هذه القوى في عبارة أسية واحدة. فما هي الخواص التي تسمح بهذا التجميع، وكيف نستعملها لحل معادلة أو متراجحة أسية؟

الفكرة المحورية بسيطة: الدالة الأسية تحوّل مجموعا إلى جداء، والقراءة العكسية لهذه الخاصية تحوّل جداء أو خارجا إلى مجموع أسّين واحد. فبمجرّد أن نصير عند عبارة e مرفوعة إلى أسّ واحد، تصبح المعادلة أو المتراجحة الأسية معادلة أو متراجحة عادية في x.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

توظيف الخاصية الأساسية للدالة الأسية في تحويل جداء أو خارج قوى إلى عبارة أسية واحدة
حل معادلة أسية تتساوى فيها عبارتان أساسهما e، بالانتقال إلى مساواة الأسّين
حل معادلة أو متراجحة أسية تساوي فيها عبارة أساسها e عددا موجبا، بأخذ اللوغاريتم النيبيري
حل معادلة أو متراجحة أسية من الدرجة الثانية بوضع تغيير المتغيّر ⁦X = e^x⁩

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

الخاصيتان الأساسيتان للدالة الأسية: ⁦e^a = e^b⁩ يكافئ ⁦a = b⁩ ، و ⁦e^a < e^b⁩ يكافئ ⁦a < b⁩
حل معادلة و متراجحة من الدرجة الثانية بحساب المميّز Δ
الدالة الأسية e^x موجبة تماما من أجل كل عدد حقيقي x

1. الخاصية الأساسية للدالة الأسية

الخاصية الأساسية

e^a+b = e^a × e^b

لإثبات تساوي عددين موجبين تماما، يكفي أن نثبت تساوي لوغاريتميهما النيبيريين، لأنّ الدالة ln متزايدة تماما على ⁦]0;+∞[⁩ فهي متباينة (لا تعطي نفس الصورة لعددين مختلفين).

البرهان: الخطوة 1

ln(e^a+b) = a + b

البرهان: الخطوة 2

ln(e^a × e^b) = ln(e^a) + ln(e^b)

البرهان: الخطوة 3

ln(e^a) + ln(e^b) = a + b

البرهان: النتيجة

الطرفان لهما نفس الصورة بالدالة ln، والعددان ⁦e^a⁺^b⁩ و ⁦e^a×e^b⁩ كلاهما موجب تماما، إذن هما متساويان.

ln(e^a+b) = ln(e^a × e^b)

أمثلة على الخاصية الأساسية

مثال 1

e × e^x = e^x+1

مثال 2

e^x²−2 = e^x² × e⁻²

2. نتيجتان تُستعملان مباشرة

✅نتيجة 1

e^−a = 1e^a

البرهان

نعوّض في الخاصية الأساسية بـ ⁦b = −a⁩، فيظهر e⁰ الذي يساوي 1، ومنه نستنتج ⁦e⁻^a⁩ بالقسمة على e^a.

e^a × e^−a=e^a−a=e⁰=1

✅نتيجة 1 (تعميم)

e^a−b = e^ae^b

مثال 3

e^2x−3 =e^2xe³

مثال 4

e^2x−5e^x+1=e^x−6

✅نتيجة 2

(e^a)ⁿ = e^{n a}

البرهان: الخطوة 1

ln((e^a)ⁿ)=n × ln(e^a)=n a

البرهان: الخطوة 2

ln(e^{n a}) = n a

البرهان: النتيجة

الطرفان موجبان تماما ولهما نفس الصورة بالدالة ln، إذن هما متساويان.

ln((e^a)ⁿ) = ln(e^{n a})

مثال 5

(e^x)² = e^2x

⭐ لا يوجد إلاّ خاصية واحدة أصلية: ⁦e^a⁺^b = e^a×e^b⁩. النتيجتان (القسمة والأسّ) تُستنتجان منها مباشرة، فلا داعي لحفظهما عن ظهر قلب — احفظ الأصل واستنتج الباقي عند الحاجة.

3. حل معادلة أو متراجحة أسية بتجميع الأسّين

عندما تظهر عدّة قوى للعدد e في نفس المعادلة، نبدأ دائما بتجميعها في أسّ واحد بالخاصية الأساسية. بعدها نستعمل قاعدتين: تساوي عبارتين أساسهما e يكافئ تساوي أسّيهما، وعبارة أساسها e مساوية لعدد موجب λ تُحل بأخذ اللوغاريتم النيبيري لهذا العدد.

مثال 6: حل معادلة بتجميع الأسّين ثمّ أخذ اللوغاريتم

نريد حل المعادلة أدناه في ℝ.

🎯المطلوب: حلّ المعادلة ⁦e^x⁺²×e²^x⁻³ = 5⁩.

📌المعطى

e^x+2 × e^2x−3=5

🔹الخطوة 1: تجميع الأسّين

نجمع الأسّين بالخاصية الأساسية: ⁦(x+2) + (2x−3)⁩.

e^{(x+2)+(2x−3)}=5

🔹الخطوة 2: تبسيط الأسّ

e^3x−1 = 5

🔹الخطوة 3: أخذ اللوغاريتم النيبيري

الطرفان موجبان تماما، فنأخذ ln للطرفين: ⁦ln(e^u) = u⁩.

3x − 1 = ln 5

🔹الخطوة 4: عزل x

3x = 1 + ln 5

✅النتيجة

x = 1 + ln 53

⭐ لا تحاول عزل x قبل تجميع الأسّين: طالما توجد أكثر من قوّة للعدد e في نفس الطرف، الخطوة الأولى هي دائما تجميعها بالخاصية الأساسية.

مثال 7: حل متراجحة بتبسيط خارج قوّتين

نريد حل المتراجحة أدناه في ℝ.

🎯المطلوب: حلّ المتراجحة ⁦e⁻²^x⁺¹ > (1/2)×e⁻^x⁺¹⁩.

📌المعطى

e^−2x+1 > (12) × e^−x+1

🔹الخطوة 1: القسمة على ⁦e⁻^x⁺¹⁩

العبارة ⁦e⁻^x⁺¹⁩ موجبة تماما من أجل كل x، فتقسيم الطرفين عليها لا يقلب اتّجاه المتراجحة.

e^−2x+1e^−x+1 > 12

🔹الخطوة 2: تبسيط الأسّ

نبسّط الخارج بالنتيجة ⁦e^a⁻^b = e^a/e^b⁩.

e^{(−2x+1)−(−x+1)}=e^−x

🔹الخطوة 3: المتراجحة المبسّطة

e^−x > 12

🔹الخطوة 4: أخذ اللوغاريتم النيبيري

نأخذ ln للطرفين، وهو متزايد تماما فلا يقلب اتّجاه المتراجحة.

−x > ln(12)

🔹الخطوة 5: تبسيط الطرف الأيمن

العدد ⁦1/2⁩ هو مقلوب 2، ولوغاريتم المقلوب هو مقابل اللوغاريتم.

ln(12) = −ln 2

🔹الخطوة 6: القسمة على ⁦−1⁩

نضرب الطرفين في ⁦−1⁩، وهذا يقلب اتّجاه المتراجحة.

x < ln 2

✅النتيجة

x < ln 2

⭐ كل ضرب أو قسمة على عدد سالب تقلب اتّجاه المتراجحة — وهذا بالضبط ما يقع عند الضرب في ⁦−1⁩ في الخطوة الأخيرة. تحقّق دائما من إشارة العدد قبل أن تقرّر.

مجموعة الحلول

S = ]−∞ ; ln 2[

4. حل معادلة أو متراجحة أسية من الدرجة الثانية

عندما تظهر e²^x و e^x معا في نفس المعادلة، نلاحظ أنّ ⁦e²^x = (e^x)²⁩، فنضع ⁦X = e^x⁩ لنرجع إلى معادلة أو متراجحة عادية من الدرجة الثانية في X، على شرط ألاّ ننسى أنّ X موجب تماما دائما.

⛔ e^x لا يساوي أبدا عددا سالبا أو معدوما. فإذا أعطتك معادلة الدرجة الثانية في X حلا سالبا أو معدوما، فهذا الحل مرفوض ولا يُترجم إلى أي قيمة لـ x.

مثال 8: حل معادلة من الدرجة الثانية بوضع ⁦X = e^x⁩

نريد حل المعادلة أدناه في ℝ.

🎯المطلوب: حلّ المعادلة ⁦e²^x − e^x − 6 = 0⁩.

📌المعطى

e^2x − e^x − 6 = 0

🔹الخطوة 1: تغيير المتغيّر

نلاحظ ⁦e²^x = (e^x)²⁩، فنضع ⁦X = e^x⁩ مع الشرط ⁦X > 0⁩.

X² − X − 6 = 0

🔹الخطوة 2: حساب المميّز

Δ=(−1)² − 4×1×(−6)=25

🔹الخطوة 3: حلاّ معادلة الدرجة الثانية

X′ = 1−52 = −2 ; X″ = 1+52 = 3

🔹الخطوة 4: العودة إلى x

العدد ⁦−2⁩ سالب، فلا يوجد x يحقق ⁦e^x = −2⁩؛ العدد 3 موجب تماما فهو مقبول.

e^x = 3

🔹الخطوة 5: أخذ اللوغاريتم النيبيري

x = ln 3

✅النتيجة

S = {ln 3}

⭐ بعد حل معادلة الدرجة الثانية في X، تحقّق دائما من إشارة كل حل: كل حل سالب أو معدوم يُرفض فورا لأنّ e^x موجب تماما دائما.

مثال 9: حل متراجحة من الدرجة الثانية بوضع ⁦X = e^x⁩

نريد حل المتراجحة أدناه في ℝ.

🎯المطلوب: حلّ المتراجحة ⁦e²^x − e^x − 6 > 0⁩.

📌المعطى

e^2x − e^x − 6 > 0

🔹الخطوة 1: تغيير المتغيّر

نضع ⁦X = e^x⁩ مع الشرط ⁦X > 0⁩، فنحصل على متراجحة عادية من الدرجة الثانية.

X² − X − 6 > 0

🔹الخطوة 2: إشارة ⁦X² − X − 6⁩

جذرا ⁦X² − X − 6⁩ هما ⁦−2⁩ و 3 (محسوبان في المثال السابق)، والحدّ الأعلى موجب، فإشارة العبارة موجبة خارج الجذرين (اتحاد مجالين).

X < −2 ; X > 3

🔹الخطوة 3: تقاطع مع الشرط ⁦X > 0⁩

الحلّ ⁦X < −2⁩ يقع كلّه خارج الشرط ⁦X > 0⁩، فيُرفض بكامله.

X > 3

🔹الخطوة 4: العودة إلى x

e^x > 3

🔹الخطوة 5: أخذ اللوغاريتم النيبيري

نأخذ ln للطرفين، وهو متزايد تماما فلا يقلب اتّجاه المتراجحة.

x > ln 3

✅النتيجة

S = ]ln 3 ; +∞[

⭐ لاحظ أنّ المثالين 8 و9 يستعملان نفس تغيير المتغيّر ونفس معادلة الدرجة الثانية: إشارة الفرق (Δ ومكان الجذرين) تُحسب مرّة واحدة، وتخدم المعادلة والمتراجحة معا.

⛔ في الباكالوريا، أكثر خطأ متكرّر في هذا النوع من التمارين هو نسيان شرط ⁦X > 0⁩ بعد حل معادلة الدرجة الثانية: كل حل سالب في X يُذكر ويُرفض صراحة في الجواب، ولا يُترك بصمت. واكتب دائما الخطوة « نجمع الأسّين » أو « نضع ⁦X = e^x⁩ » بوضوح: هي التي تُنقّط في المسار.

الخلاصة: الخاصية الأساسية ⁦e^a⁺^b = e^a×e^b⁩، ونتيجتاها ⁦e⁻^a = 1/e^a⁩ و ⁦(e^a)ⁿ = e^na⁩، تسمح بتجميع أي جداء أو خارج لقوى العدد e في أسّ واحد. من هناك، معادلة تتساوى فيها عبارتان أساسهما e تكافئ تساوي أسّيهما، ومعادلة تساوي فيها عبارة أساسها e عددا موجبا λ تُحل بأخذ اللوغاريتم النيبيري. وإذا ظهرت e²^x و e^x معا، فوضع ⁦X = e^x⁩ يرجع بنا إلى معادلة أو متراجحة من الدرجة الثانية، بشرط أن يبقى X موجبا تماما.

Page 1/9

📍 Dans l'année

🟦 T1 · 🟩 T2 · 🟪 T3 · 📝 examens S14/27/36 · 🎓 bac

📌 À retenir

الخلاصة: الخاصية الأساسية ⁦e^a⁺^b = e^a×e^b⁩، ونتيجتاها ⁦e⁻^a = 1/e^a⁩ و ⁦(e^a)ⁿ = e^na⁩، تسمح بتجميع أي جداء أو خارج لقوى العدد e في أسّ واحد. من هناك، معادلة تتساوى فيها عبارتان أساسهما e تكافئ تساوي أسّيهما، ومعادلة تساوي فيها عبارة أساسها e عددا موجبا λ تُحل بأخذ اللوغاريتم النيبيري. وإذا ظهرت e²^x و e^x معا، فوضع ⁦X = e^x⁩ يرجع بنا إلى معادلة أو متراجحة من الدرجة الثانية، بشرط أن يبقى X موجبا تماما.

الخاصية الأساسية

e^a+b = e^a × e^b

البرهان: الخطوة 1

ln(e^a+b) = a + b

البرهان: الخطوة 2

ln(e^a × e^b) = ln(e^a) + ln(e^b)

البرهان: الخطوة 3

ln(e^a) + ln(e^b) = a + b

البرهان: النتيجة

ln(e^a+b) = ln(e^a × e^b)

مثال 1

e × e^x = e^x+1

مثال 2

e^x²−2 = e^x² × e⁻²

البرهان

e^a × e^−a = e^a−a = e⁰ = 1