مدرستي
Sciences physiques🎓 objectif bac

تطور جملة ميكانيكية

مقاربة تاريخية: المعالم العطالية، مرجع غاليلي و قوانين كبلر

🔊 La maîtresse lit pour toi
قبل أربعة قرون كان الناس متيقّنين أنّ الأرض ثابتة في مركز الكون، وأنّ الشمس والكواكب تدور حولها. ما الذي جعل العلماء يقلبون هذه الصورة رأسا على عقب، وبأيّ قوانين وصفوا حركة الكواكب ؟
🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • أن ترتّب مراحل تطوّر النظرة إلى حركة الكواكب من أرسطو إلى نيوتن
  • أن تعرّف المرجع العطالي وتتحقّق ممّا إذا كان مرجع معيّن غاليليا
  • أن تختار المرجع المناسب لدراسة حركة معيّنة من بين المراجع الثلاثة
  • أن تنصّ قوانين كبلر الثلاثة وتحدّد ما يصفه كلّ واحد منها
  • أن تطبّق قانون كبلر الثالث لحساب دور جرم أو لحساب ثابت كبلر
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • نسبية الحركة: الحركة تُدرس دائما بالنسبة إلى مرجع، ولا معنى لها بدونه
  • مبدأ العطالة كما رأيته في السنوات السابقة
  • الكتابة العلمية للأعداد وتحويل وحدات الزمن والطول

❓إشكالية: ما نراه من السماء لم يتغيّر منذ آلاف السنين، لكنّ تفسيرنا له تغيّر ثلاث مرّات على الأقلّ. فما الذي تغيّر بالضبط، وكيف صار وصف حركة الكواكب علما دقيقا يُحسب بالأرقام ؟

  1. بالنسبة إلى أيّ مرجع ندرس حركة كوكب، ولماذا لا يصلح أيّ مرجع ؟
  2. ما شكل مسار الكوكب حقيقة، وهل سرعته ثابتة عليه ؟
  3. هل يوجد قانون واحد يربط بين مدارات كلّ الكواكب ؟

لمحة تاريخية: من أرسطو إلى نيوتن

من بين التأثيرات المتبادلة الأساسية الأربعة، تحتلّ قوّة الجذب أقدم مكانة في التاريخ. وفهم حركات الأجسام والفعل الجاذبي كان له أثر كبير على الفكر، تمخّضت عنه ثلاث ثورات على الأقلّ في تطوّر المفاهيم والنظريات في الميكانيك.

📌المعطى: ستّة أسماء بنى بعضها على بعض
العالِمالحقبةما أضافه إلى وصف حركة الكواكب
أرسطومن 384 إلى 322 قبل الميلادالأرض في مركز الكون، ووصف مبنيّ أساسا على الحدس المباشر، وهو ما أعطاه قوّة الديمومة
بطليموسنحو 140 بعد الميلادنظام رياضي متماسك لحركة الأجرام، مبنيّ على فلك التدوير: دائرة صغيرة يرسمها الجرم حول نقطة تدور هي نفسها حول الأرض في دائرة كبيرة
كوبرنيكمن 1473 إلى 1543النظام الشمسي المركزي: الشمس مركز دوران الكواكب، ودوران الشمس الظاهري ليس إلّا دوران الأرض حول نفسها. لكنّه بقي معتقدا بالحركة الدائرية المنتظمة
كبلرمن 1571 إلى 1630بالاعتماد على أرصاد تيكو براهي: المدارات إهليلجية لا دائرية، والسرعة ليست ثابتة، ونسبة ثابتة بين مربّع الدور ومكعّب المسافة عند كلّ الكواكب
غاليليمن 1564 إلى 1642منظار بعدستين، اكتشاف أقمار المشتري، برهان قاطع يفنّد مركزية الأرض، ثبات التسارع في حقل الجاذبية الأرضية، وقانون العطالة
نيوتنمن 1642 إلى 1727نظرية التجاذب والمبدأ الأساسي للديناميك، وتوحيد الميكانيك الأرضية والفلكية في ميكانيك واحد
كلّ سطر يبدأ من حيث انتهى الذي قبله: العلم هنا تراكم، لا قفزة واحدة
لا تقرأ هذا الجدول كسلسلة انتصارات متتالية: غاليلي عاصر كبلر، وكان من أتباع كوبرنيك، ومع ذلك بقيت له شكوك في المدارات الإهليلجية التي أتى بها كبلر. الفكرة الصحيحة لا تُقبل دائما فور ظهورها، حتّى من أكبر علماء عصرها.

المعالم العطالية و مرجع غاليلي

نشاط 1: هل تتغيّر طبيعة الحركة إذا غيّرنا المرجع ؟

📌التجربة:

  1. نترك كرة تتدحرج على الأرض في خطّ مستقيم.
  2. يدرس شخص واقف على الرصيف حركة الكرة، فيسجّل مواضعها في مجالات زمنية متساوية.
  3. يدرس راكب دراجة له حركة مستقيمة منتظمة بالنسبة إلى الرصيف الحركة نفسها.
  4. نقارن القوّة المطبّقة على الكرة كما يصفها كلّ واحد منهما، ثمّ نقارن طبيعة الحركة في المرجعين.

🔍الملاحظة: القوّة المطبّقة على الكرة هي نفسها في المرجعين، وهي السبب الأساسي في تغيير طبيعة الحركة. أمّا الانتقال من مرجع ساكن بالنسبة إلى سطح الأرض إلى مرجع يتحرّك بالنسبة إليه حركة مستقيمة منتظمة، فلا يغيّر شيئا من طبيعة هذه الحركة.

تغيير المعلم من معلم ساكن إلى معلم له حركة مستقيمة منتظمة بالنسبة إليه لا يغيّر طبيعة الحركة، ويبقى مبدأ العطالة محقّقا في الاثنين. يسمّى هذا النوع من المراجع مرجع غاليلي، أي مرجعا عطاليا.
تعريف: نقول عن مرجع إنّه مرجع غاليلي، أو مرجع عطالي، إذا تحقّق فيه مبدأ العطالة.
يكون المرجع غاليليا إذا كان:
  • مرجعا ساكنا أصلا.
  • أو مرجعا يتحرّك حركة مستقيمة منتظمة بالنسبة إلى مرجع ساكن أصلا.
  • أو كانت المدّة المدروسة قصيرة جدّا أمام مدّة حركة المرجع نفسه.

نشاط 2: أيّ مرجع نختار لأيّ حركة ؟

📌التجربة:

  1. نختار في كلّ حالة مبدأ المعلم ومحاوره، ثمّ نسأل: هل يبقى المبدأ ثابتا خلال المدّة المدروسة ؟
  2. الحالة الأولى، دراسة حركة كوكب: نضع المبدأ في مركز الشمس ونوجّه المحاور الثلاثة نحو ثلاثة نجوم تبدو ساكنة بالنسبة إليها.
  3. الحالة الثانية، دراسة حركة قمر اصطناعي: نضع المبدأ في مركز الأرض ونوجّه المحاور نحو النجوم الثابتة نفسها.
  4. الحالة الثالثة، دراسة حركة جسم في المخبر: نربط المعلم بسطح الأرض، بجدار أو بزاوية القاعة.

🔍الملاحظة: المبدأ يتغيّر من حالة إلى أخرى، لكنّ المحاور تبقى في الحالتين الأوليين موجّهة نحو النجوم نفسها. ولا يبقى أيّ من هذه المراجع ساكنا تماما: الأرض تدور حول نفسها في أربع وعشرين ساعة وتدور حول الشمس في سنة، غير أنّ هاتين الحركتين مهملتان أمام مدّة تجربة تدوم ثوانيَ في المخبر.

لا يكون المرجع عطاليا في المطلق: هو عطالي بالكفاية لدراسة معيّنة، إذا كانت المدّة المدروسة قصيرة جدّا أمام مدّة حركته هو نفسه.
✅النّتيجة: ثلاثة مراجع عطالية بالكفاية
المرجعمبدؤه و محاورهما يصلح لدراسته
المرجع الهيليومركزي، ويسمّى أيضا معلم كوبرنيكمبدؤه مركز الشمس، وله ثلاثة محاور موجّهة نحو ثلاثة نجوم ساكنة بالنسبة إليهاحركة الكواكب والمذنّبات وبعض المركبات الفضائية
المرجع المركزي الأرضي، ويسمّى المرجع الجيومركزيمبدؤه مركز الأرض، وله ثلاثة محاور موجّهة نحو النجوم الثابتة نفسهاحركة القمر والأقمار الاصطناعية وبعض الحركات الأرضية
المرجع السطحي الأرضيمبدؤه نقطة مرتبطة بسطح الأرض: جدار أو شجرة أو رصيف أو شخصمعظم الحركات التي تُدرس في مدّة قصيرة أمام دور دوران الأرض حول نفسها
ما يتغيّر بينها هو المبدأ ومدى الحركات التي تصلح لها، لا تعريف العطالة نفسه
لا يوجد مرجع غاليلي تامّ. المرجع السطحي الأرضي عطالي بالكفاية لتجربة تدوم ثوانيَ أو دقائق، لكنّه يكفّ عن ذلك في حركة تدوم ساعات، لأنّ الأرض تكون قد دارت حول نفسها دورانا معتبرا خلالها. اسأل دائما عن مدّة الدراسة قبل أن تحكم على المرجع.

قوانين كبلر الثلاثة

عمل كبلر بالنظام الشمسي المركزي، وبمساعدة أرصاد تيكو براهي الدقيقة، على تحديد مسارات الكواكب بدقّة، وكان يشكّك في فكرة الحركة الدائرية المنتظمة. وبفضل إتقانه أتى بثلاثة قوانين كان لها دور أساسي في تطوّر الميكانيك. وأوّل ما يلزمنا لفهمها هو الشكل الهندسي الذي اكتشفه: الإهليلج.

نشاط 3: كيف نرسم إهليلجا، و ما الذي يبقى ثابتا فيه ؟

📌التجربة:

  1. نغرز دبّوسين في ورقة، ونسمّي موضعيهما البؤرتين.
  2. نربط طرفي خيط غير قابل للتمدّد بالدبّوسين، بحيث يكون الخيط أطول من المسافة بينهما.
  3. نشدّ الخيط بقلم ونديره حول الدبّوسين حتّى يرسم منحنى مغلقا.
  4. نختار نقطة كيفية من المنحنى ونقيس بعديها عن البؤرتين، ثمّ نعيد القياس عند نقطة أخرى.
  5. نقرّب الدبّوسين أحدهما من الآخر ونعيد الرسم.

🔍الملاحظة: المنحنى المرسوم إهليلج. ومجموع بعدَي أيّ نقطة منه عن البؤرتين يساوي دائما طول الخيط، أي طول المحور الكبير، مهما كانت النقطة المختارة على المنحنى. وكلّما اقتربت البؤرتان إحداهما من الأخرى اقترب الإهليلج من الدائرة، وعندما تنطبقان يصير دائرة تماما.

مجموع بعدَي نقطة عن البؤرتين لا يتغيّر: هو طول المحور الكبير
خاصّية الإهليلج
r1 + r2 = 2a
تعريف: الإهليلج منحنى مغلق له بؤرتان. طول محوره الكبير هو أطول قطر فيه، ونصفه يسمّى نصف المحور الكبير. والدائرة حالة خاصّة من الإهليلج تنطبق فيها البؤرتان على المركز، فيصير نصف المحور الكبير هو نصف القطر.
القانون الأوّل لكبلر: في مرجع هيليومركزي، ترسم مراكز عطالة الكواكب مسارات إهليلجية يشكّل مركز الشمس إحدى بؤرتيها.
القوس المقطوع قرب الشمس أطول من القوس المقطوع بعيدا عنها، في المدّة نفسها

🔍الملاحظة: القطاعان لهما مساحتان متساويتان، لكنّ شكليهما مختلفان تماما. والقوس الذي يقطعه الكوكب قرب الشمس أطول من القوس الذي يقطعه بعيدا عنها، والمدّة الزمنية واحدة في الحالتين.

🔍التحليل: ما دام الكوكب يقطع قوسا أطول في المدّة نفسها عندما يكون قريبا من الشمس، فسرعته هناك أكبر. سرعة الكوكب إذن ليست ثابتة على مداره: تكبر كلّما اقترب من الشمس، وتصغر كلّما ابتعد عنها. وهذا بالضبط ما كان كبلر يشكّك فيه من فكرة الحركة الدائرية المنتظمة.

القانون الثاني لكبلر، أو قانون المساحات: يمسح نصف القطر الواصل بين الشمس والكوكب مساحات متساوية خلال مجالات زمنية متساوية.
القانون الثالث لكبلر: يتناسب مربّع الدور الزمني للكوكب حول الشمس مع مكعّب نصف طول المحور الكبير لمداره. والنسبة بين الاثنين ثابتة عند كلّ كواكب الجملة الشمسية.
قانون كبلر الثالث
T2a3 = K
Tالدور الزمني للكوكب حول الشمس(s)aنصف طول المحور الكبير للمدار(m)Kثابت كبلر، وهو نفسه عند كلّ الأجرام التي تدور حول الجرم نفسه(s²/m³)
مثال 1: قراءة خاصّية الإهليلج على مدار كوكب

كوكب يدور حول نجم في مسار إهليلجي، والنجم في إحدى بؤرتي المدار. طول المحور الكبير للمدار معلوم، وفي لحظة معيّنة نعرف بُعد الكوكب عن النجم.

🎯المطلوب: احسب بُعد الكوكب في تلك اللحظة عن البؤرة الثانية للمدار

📌المعطى
2a = 3,0 × 108 km ; r1 = 1,2 × 108 km
🔹الخطوة 1: خاصّية الإهليلج

لأنّ مجموع بعدَي أيّ نقطة من الإهليلج عن البؤرتين ثابت ويساوي طول المحور الكبير، مهما كان موضع الكوكب على مداره

r1 + r2 = 2a
🔹الخطوة 2: عزل المجهول

لأنّ المجهول هو البُعد عن البؤرة الثانية، فنعزله بطرح البُعد المعلوم من الطرفين

r2 = 2a − r1
✅النّتيجة

لأنّ العددين معبّر عنهما بالوحدة نفسها، فالطرح مباشر ولا يحتاج إلى أيّ تحويل

r2=3,0 × 108 − 1,2 × 108=1,8 × 108 km
لا تخلط بين البؤرة والمركز: الشمس في بؤرة، لا في مركز المدار. ولهذا يتغيّر بُعد الكوكب عن الشمس على طول المدار، بينما يبقى مجموع البعدين عن البؤرتين ثابتا.
مثال 2: كوكب أبعد أربع مرّات، فبأيّ دور يدور ؟

كوكبان يدوران حول النجم نفسه. نصف المحور الكبير لمدار الثاني يساوي أربعة أمثال نصف المحور الكبير لمدار الأوّل.

🎯المطلوب: أوجد دور الكوكب الثاني بدلالة دور الكوكب الأوّل

📌المعطى
a2 = 4 a1
🔹الخطوة 1: تساوي ثابت كبلر عند الكوكبين

لأنّ ثابت كبلر واحد عند كلّ الأجرام التي تدور حول النجم نفسه، فنسبة مربّع الدور إلى مكعّب نصف المحور الكبير هي نفسها عند الكوكبين

T12a13 = T22a23
🔹الخطوة 2: الانتقال إلى النسب

لأنّ ترتيب المساواة يجمع الدورين في طرف ونصفَي المحورين في الطرف الآخر، فتظهر النسبتان وحدهما وتختفي قيمة ثابت كبلر

(T2T1)2=(a2a1)3=43=64
✅النّتيجة

لأنّ الدورين موجبان، فنأخذ الجذر التربيعي للطرفين، وجذر أربعة وستّين ثمانية

T2 = 8 T1
في هذا النوع من الأسئلة لا تحسب ثابت كبلر أبدا: اكتب المساواة بين النسبتين مباشرة، فتُختصر وتنتهي بنسبة عددية بسيطة. حساب الثابت يطيل الطريق ويُدخل وحدات لا حاجة لك بها.
مثال 3: حساب ثابت كبلر مع الانتباه إلى الوحدات

قمر اصطناعي يدور حول كوكب في مسار يكاد يكون دائريا. دوره ونصف محوره الكبير معلومان.

🎯المطلوب: احسب ثابت كبلر الموافق لهذا الكوكب، و حدّد وحدته

📌المعطى
T = 2,0 h ; a = 8,0 × 103 km
🔹الخطوة 1: تحويل الدور إلى الثانية

لأنّ وحدة ثابت كبلر تُقرأ من عبارته نفسها: مربّع زمن على مكعّب طول، فلا معنى للنتيجة إن لم يُعبّر عن الدور بالثانية

T=2,0 × 3600=7200 s
🔹الخطوة 2: تحويل نصف المحور الكبير إلى المتر

لأنّ الوحدة الأساسية للطول هي المتر، والكيلومتر الواحد يساوي ألف متر

a=8,0 × 103 km=8,0 × 106 m
🔹الخطوة 3: تطبيق القانون

لأنّ ثابت كبلر هو بالتعريف نسبة مربّع الدور إلى مكعّب نصف المحور الكبير

K=T2a3=(7,2 × 103)2(8,0 × 106)3
🔹الخطوة 4: حساب النسبة

لأنّ البسط يساوي خمسة فاصل مائة وأربعة وثمانين في عشرة أسّ سبعة، والمقام خمسة فاصل اثني عشر في عشرة أسّ عشرين

K=5,184 × 1075,12 × 1020
✅النّتيجة

لأنّ الحاصل يُكتب بالكتابة العلمية، ووحدته هي وحدة مربّع الزمن على مكعّب الطول

K = 1,0 × 10−13 s2m3
الوحدة وحدها تكشف الخطأ: إن لم تجد ثانية مربّعة على متر مكعّب، فأنت لم تحوّل الدور أو لم تحوّل نصف المحور الكبير. تحقّق من التحويلين قبل أن تشكّ في الحساب.
قانون كبلر الثالث لا يصلح إلّا للأجرام التي تدور حول الجرم نفسه: ثابت الكواكب حول الشمس يختلف عن ثابت الأقمار الاصطناعية حول الأرض. لا تقارن أبدا بين نسبتين لا تعودان إلى الجرم المركزي نفسه.
قوانين كبلر الثلاثة وصف: تقول ماذا يحدث، ولا تقول لماذا يحدث. الجواب عن لماذا جاء بعد كبلر بنحو ثمانين سنة مع نيوتن، وستستنتج في الدرس الثالث من هذا المقطع ثابت كبلر نفسه انطلاقا من قانون الجذب العام وحده.
في البكالوريا يأتي هذا الدرس في مطلع تمرين حركة الكواكب والأقمار: «ما المرجع المناسب لدراسة الحركة؟ وهل يُعتبر غاليليّا؟»، و«انصّ على قانون كبلر الثالث واستعمله لحساب دور أو نصف محور». جهّز ثلاثة عناصر: ① اختيار المرجع: الهيليومركزي للكواكب، والمركزي الأرضي للأقمار، والسطحي الأرضي للحركات القصيرة ؛ والمرجع الغاليلي ساكن أو منسحب بحركة مستقيمة منتظمة ؛ ② قوانين كبلر الثلاثة: مسار إهليلجي ⁦(r1 + r2 = 2a)⁩، وسرعة غير ثابتة تكبر قرب الشمس، ونسبة ثابتة ⁦T²/a³ = K⁩ ؛ ③ الحساب بالقانون الثالث: لجسمين يدوران حول الجسم المركزي نفسه تتساوى النسبة ⁦T²/a³⁩، فيُستخرج المجهول. ⚠️ الخطأ الشائع: استعمال ثابت كبلر المحسوب في النظام الشمسي لجسم يدور حول الأرض ؛ الثابت يتغيّر بتغيّر الجسم المركزي. ⚠️ وخطأ ثانٍ: اعتبار المرجع السطحي الأرضي عطاليّا في كلّ الأحوال ؛ يصحّ ذلك فقط إذا كانت مدّة الدراسة قصيرة جدّا أمام دور دوران الأرض حول نفسها.
خلاصة: الحركة لا تُدرس إلّا بالنسبة إلى مرجع، والمرجع الذي يتحقّق فيه مبدأ العطالة يسمّى مرجعا غاليليا. وتُختار في الفلك ثلاثة مراجع بحسب الحركة المدروسة: الهيليومركزي للكواكب، والجيومركزي للأقمار، والسطحي الأرضي لحركات المخبر. وقد وصف كبلر حركة الكواكب بثلاثة قوانين: المسار إهليلج والشمس في إحدى بؤرتيه، ونصف القطر الواصل يمسح مساحات متساوية في مدد متساوية، ونسبة مربّع الدور إلى مكعّب نصف المحور الكبير ثابتة عند كلّ كواكب الجملة الشمسية.

Page 1/8

© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net