تطور جملة ميكانيكية
دراسة حركة كوكب أو قمر اصطناعي: الحركة الدائرية المنتظمة و الجذب العام
- أن تعرّف المعلم فريني وتفصل التسارع إلى مركّبتيه فيه
- أن تبيّن أنّ تسارع الحركة الدائرية المنتظمة ناظمي خالص
- أن تربط الدور بالسرعة الخطية وبالسرعة الزاوية
- أن تطبّق القانون الثاني لنيوتن على كوكب أو قمر اصطناعي فتستنتج تسارعه وسرعته ودوره
- أن تستنتج ثابت كبلر من قانون الجذب العام وتحكم على كون قمر جيومستقرّا
- القانون الثاني لنيوتن وشرط تطبيقه في مرجع عطالي
- التسارع المماسي والتسارع الناظمي ومعنى نصف قطر الانحناء
- قانون كبلر الثالث وقراءة الكتابة العلمية للأعداد
❓إشكالية: الكوكب والقمر الاصطناعي يدوران دون أن يدفعهما شيء. فإذا كانت كلّ حركة منحنية تحتاج إلى تسارع، وكلّ تسارع يحتاج إلى قوّة، فأين هي هذه القوّة وما اتجاهها ؟
- بأيّ معلم ندرس حركة على مسار منحنٍ، والمعلم الديكارتي الثابت لا يتبع الانحناء ؟
- لماذا يكون لجسم يدور بسرعة ثابتة الشدّة تسارع، وإلى أين يتّجه هذا التسارع ؟
- لماذا لا تتعلّق سرعة القمر الاصطناعي ولا دوره بكتلته ؟
المعلم فريني و مركّبتا التسارع
نشاط 1: معلم يتحرّك مع الجسم
📌التجربة:
- نرسم مسارا منحنيا كيفيّا، ونختار عليه مبدأ واتجاها موجبا.
- نحدّد عند لحظة معيّنة موضع مركز العطالة بفاصلته المنحنية، وهي طول القوس بين المبدأ وموضع الجسم.
- نرسم عند هذا الموضع شعاع وحدة مماسيّا للمسار وموجّها في الاتجاه الموجب.
- نرسم شعاع وحدة ثانيا عموديّا على الأوّل ومتّجها نحو داخل الانحناء، ثمّ نسقط شعاع التسارع على الشعاعين.
🔍الملاحظة: المعلم المحصّل عليه يتحرّك مع الجسم: مبدؤه هو الجسم نفسه، ومحوراه يدوران معه على طول المسار. وإسقاط شعاع التسارع عليهما يعطي دائما مركّبتين لا أكثر، مهما كان شكل المسار.
الحركة الدائرية المنتظمة
نشاط 2: أين يتّجه تسارع جسم يدور بسرعة ثابتة الشدّة ؟
📌التجربة:
- نربط كرة صغيرة بخيط وندوّرها في مستوٍ أفقي بسرعة ثابتة الشدّة.
- نرسم عند نقطة من المسار شعاع السرعة، ثمّ نعيد رسمه عند نقطة أخرى بعد ربع دورة.
- ننقل الشعاعين إلى نقطة واحدة ونرسم الفرق بينهما، وهو يعطي جهة تغيّر السرعة.
- نقارن جهة هذا الفرق بجهة الخيط الذي يشدّ الكرة نحو المركز.
🔍الملاحظة: شدّة السرعة لم تتغيّر، لكنّ جهتها تغيّرت. وفرق الشعاعين يتّجه نحو مركز الدائرة، أي في الجهة نفسها التي يشدّ فيها الخيط الكرة. وإذا انقطع الخيط انطلقت الكرة على المماس ولم تعد تدور.
والحركة الدائرية المنتظمة دورية: يعود المتحرّك إلى الموضع نفسه بعد مدّة ثابتة تسمّى الدور، وهي المدّة اللازمة لقطع محيط الدائرة كاملا.
قانون الجذب العام
نشاط 3: التأثيرات المتبادلة بين الأرض و القمر
📌التجربة:
- نرسم الأرض والقمر ونصل بين مركزيهما بمستقيم.
- نرسم على هذا المستقيم القوّة التي تطبّقها الأرض على القمر.
- نرسم عليه أيضا القوّة التي يطبّقها القمر على الأرض، بتطبيق مبدأ الفعلين المتبادلين.
- نقارن طولَي السهمين، مع العلم أنّ كتلة الأرض أكبر بكثير من كتلة القمر.
🔍الملاحظة: السهمان لهما الطول نفسه ويتقابلان على المستقيم الواصل بين المركزين: القوّتان متساويتان في الشدّة رغم الفرق الهائل بين الكتلتين. وما يختلف هو الأثر، لا القوّة: الجسم الأصغر كتلة هو الذي يأخذ التسارع الأكبر، لأنّ التسارع يساوي القوّة على الكتلة.
| وجه المقارنة | قانون الجذب العام | قانون كولوم في الكهرباء |
|---|---|---|
| سنة الصياغة | 1687 | 1785 |
| ما الذي يتفاعل | كتلتان | شحنتان كهربائيتان |
| نوع القوّة | تجاذب دائما، لأنّ الكتل كلّها موجبة | تجاذب أو تنافر، لأنّ للشحنة إشارة |
| التعلّق بالبعد | تتناسب عكسا مع مربّع البعد | تتناسب عكسا مع مربّع البعد |
| حامل القوّتين | المستقيم الواصل بين المركزين | المستقيم الواصل بين الشحنتين |
🔍تفسير حركة كوكب أو قمر اصطناعي
ندرس حركة القمر الاصطناعي في مرجع جيومركزي، وحركة الكوكب في مرجع هيليومركزي، وكلاهما عطالي بالكفاية. ونفترض أنّ المسار دائري نصف قطره معلوم، وأنّ القوّة الوحيدة المطبّقة على الجسم هي قوّة الجذب العام التي يطبّقها الجرم المركزي عليه. فيكون تطبيق القانون الثاني لنيوتن مباشرا.
وبما أنّ المسار دائري والقوّة موجّهة دائما نحو مركزه، فهي ناظمية للمسار في كلّ نقطة منه، فيكون التسارع ناظميّا خالصا وشدّته تساوي مربّع السرعة على نصف قطر المسار. وبمساواة العبارتين نحصل على السرعة المدارية ثمّ على الدور.
ولنطبّق كلّ هذا على قمر اصطناعي لمراقبة الأرض. وسنرى أنّ خمسة أسئلة متتالية تُحلّ كلّها بالعبارتين نفسيهما، ولا يتغيّر فيها إلّا الترتيب الجبري.
قمر اصطناعي لمراقبة الأرض يرسم مسارا دائريا حولها. كتلة الأرض ونصف قطرها وثابت الجذب العام معلومة، وكذلك ارتفاع مدار القمر.
🎯المطلوب: أوجد العبارة الحرفية لتسارع القمر ثمّ احسب قيمته
لأنّ نصف قطر المدار يُقاس من مركز الأرض لا من سطحها، فهو مجموع نصف قطر الأرض وارتفاع القمر
لأنّ كلّ الحسابات تجري بالوحدات الأساسية، والقانون يعطي التسارع بالمتر على الثانية مربّعة
لأنّ القوّة الوحيدة المطبّقة على القمر هي قوّة الجذب، فبتطبيق القانون الثاني تُختصر كتلة القمر من الطرفين ولا تبقى إلّا كتلة الأرض ونصف قطر المدار
لأنّ جداء ثابت الجذب في كتلة الأرض يتكرّر في كلّ الأسئلة الموالية، فمن الأنفع حسابه مرّة واحدة والاحتفاظ به
لأنّ التعويض العددي يتمّ بعد التحويل، وكلّ الأعداد مكتوبة بالكتابة العلمية
لأنّ حاصل القسمة يعطي التسارع بالمتر على الثانية مربّعة مباشرة
نبقى مع القمر الاصطناعي نفسه، وقد صار جداء ثابت الجذب في كتلة الأرض ونصف قطر المدار معلومين من المثال السابق.
🎯المطلوب: أوجد العبارة الحرفية للسرعة المدارية ثمّ احسب قيمتها
لأنّ القوّة موجّهة دائما نحو مركز الأرض وشدّتها ثابتة على المدار الدائري، فالحركة دائرية منتظمة وتسارعها ناظمي خالص
لأنّ التسارع نفسه معلوم من قانون الجذب، فبمساواة العبارتين يُختصر نصف قطر واحد ويظهر مربّع السرعة
لأنّ شدّة السرعة موجبة، فنأخذ الجذر التربيعي للطرفين
لأنّ المقدارين تحت الجذر معلومان بالوحدات الأساسية، فالقسمة تتمّ قبل أخذ الجذر
لأنّ حاصل القسمة تحت الجذر يساوي خمسة فاصل خمسة ثلاثة في عشرة أسّ سبعة، وجذره التربيعي هو السرعة بالمتر على الثانية
نستعمل نصف قطر المدار والسرعة المدارية المحصّل عليهما، ونطبّق تعريف الدور في الحركة الدائرية المنتظمة.
🎯المطلوب: احسب دور القمر الاصطناعي ثمّ بيّن هل هو جيومستقرّ
لأنّ الدور هو المدّة اللازمة لقطع محيط الدائرة كاملا بالسرعة المدارية
لأنّ محيط الدائرة يساوي جداء اثنين في العدد باي في نصف القطر، وقسمته على السرعة تعطي المدّة بالثانية
لأنّ المقارنة بدور الأرض تكون بالساعة، والساعة الواحدة تساوي ثلاثة آلاف وستّمائة ثانية
لأنّ الدور المحصّل عليه أصغر بكثير من دور دوران الأرض حول نفسها، فالقمر يمرّ فوق النقطة نفسها من الأرض عدّة مرّات في اليوم ولا يبدو ثابتا بالنسبة إليها
نعود إلى قانون كبلر الثالث الذي رأيناه وصفا تجريبيّا، ونشتقّه هذه المرّة من قانون الجذب العام وحده.
🎯المطلوب: استنتج عبارة ثابت كبلر بدلالة كتلة الأرض ثمّ احسب قيمته
لأنّ السرعة المدارية تُكتب أيضا بدلالة الدور: محيط الدائرة مقسوما على مدّة الدورة الكاملة
لأنّ مربّع هذه السرعة يجب أن يساوي المقدار المحصّل عليه من قانون الجذب
لأنّ ترتيب المساواة يجمع الدور في طرف ونصف قطر المدار في الطرف الآخر، فتظهر نسبة كبلر نفسها
لأنّ الطرف الأيمن لا يحوي إلّا ثوابت وكتلة الأرض، فيكفي التعويض للحصول على قيمة عددية واحدة
لأنّ هذه القيمة لا تتعلّق بأيّ قمر بعينه، فهي ثابت كبلر المشترك بين كلّ أقمار الأرض، ووحدته ثانية مربّعة على متر مكعّب
نفرض على القمر أن يبقى ثابتا بالنسبة إلى الأرض، فيصير دوره مفروضا، ونبحث عن الارتفاع الذي يحقّق هذا الشرط.
🎯المطلوب: احسب ارتفاع المدار الذي يكون عنده القمر جيومستقرّا
لأنّ كلّ العبارات مكتوبة بالوحدات الأساسية، فالدور يجب أن يُعبَّر عنه بالثانية
لأنّ الدور معلوم والمجهول هو نصف قطر المدار، فنعزله من عبارة الدور برفع الطرفين إلى المربّع ثمّ أخذ الجذر المكعّب
لأنّ كلّ المقادير صارت معلومة، فلا يبقى إلّا التعويض وحساب الجذر المكعّب
لأنّ الجذر المكعّب للحاصل يعطي نصف قطر المدار بالمتر، وهو يُقاس من مركز الأرض
لأنّ الارتفاع يُقاس من سطح الأرض لا من مركزها، فنطرح نصف قطر الأرض من نصف قطر المدار
Page 1/10
© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net