الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

الدالتان الأسية واللوغاريتمية الدالة الأسية تغيرات و النهايات

حل معادلات و متراجحات باستعمال خواص الدالة الأسية

🔊 المعلّمة تقرأ لك

في المعادلات التي درستها إلى اليوم كان المجهول في الأساس: ⁦x² = 9⁩، أو ⁦3x - 1 = 5⁩. الآن يصعد المجهول إلى الأسّ، و تصير المعادلة على صيغة ⁦e²^x = e^x⁺³⁩. فكيف نُنزل المجهول من الأسّ دون أن نغيّر مجموعة الحلول؟

الأداة واحدة و بسيطة: الدالة الأسّية متزايدة تماما، و دالّة متزايدة تماما تحفظ الترتيب و تحفظ التساوي. من هنا تأتي كلّ المكافآت التي تسمح بحذف الأسّية من الطرفين.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

استعمال المكافأة ⁦e^a = e^b ⟺ a = b⁩ لحلّ معادلة أسّية
استعمال المكافأة ⁦e^a < e^b ⟺ a < b⁩ لحلّ متراجحة أسّية
حلّ معادلة أسّية بتغيير المجهول ⁦X = e^x⁩ مع الشرط ⁦X > 0⁩
تحديد إشارة عبارة تحتوي على الدالة الأسّية

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

حلّ معادلة و متراجحة من الدرجة الأولى و الثانية
الخواص الجبرية للدالة الأسّية

1. إشارة الدالة الأسّية

قبل أيّ شيء، خاصية تُستعمل في كلّ تمرين تقريبا:

الخاصية

من أجل كلّ عدد حقيقي x. البرهان في سطر: ⁦e^x = exp(2 × (x/2)) = [exp(x/2)]²⁩، و هو مربّع، فهو موجب؛ و بما أنّه غير معدوم فهو موجب تماما.

e^x > 0

⛔ نتيجة عمليّة تُنسى كثيرا: عبارة كـ 3e^x أو ⁦e^x + 1⁩ موجبة تماما دائما. عند دراسة إشارة جداء أو حاصل قسمة، لا تُدرج العامل الأسّي في الجدول: إشارته معروفة سلفا.

2. اتجاه التغيّر و المكافآت

مشتقّة الأسّية هي الأسّية نفسها، و هي موجبة تماما، إذن:

اتجاه التغيّر

المشتقّة موجبة تماما على ℝ، إذن الدالة الأسّية متزايدة تماما على ℝ.

exp'(x) = e^x > 0

و دالّة متزايدة تماما تسمح بالمرور في الاتّجاهين بين الأسّ و صورته:

مكافأة التساوي

هذه هي أداة حلّ المعادلات: نُرجع الطرفين إلى أسّية واحدة، ثمّ نساوي بين الأسّين.

e^a = e^b ⟺ a = b

مكافأة الترتيب

التزايد التامّ يحفظ الترتيب، فلا تنقلب المتراجحة عند حذف الأسّية.

e^a < e^b ⟺ a < b

المقارنة بالواحد

حالة خاصّة من السابقة مع ⁦e⁰ = 1⁩. تُختصر بها متراجحات كثيرة دون أيّ حساب.

e^x > 1 ⟺ x > 0 ; 0 < e^x < 1 ⟺ x < 0

منهجية موحّدة: ① أرجع كلّ طرف إلى أسّية واحدة بالخواص الجبرية ② احذف الأسّية بالمكافأة ③ حلّ المعادلة أو المتراجحة العادية التي بقيت. إن تعذّر الخطوة ①، جرّب تغيير المجهول ⁦X = e^x⁩.

مثال 1: معادلة تُحلّ بالمكافأة

نعتبر المعادلة ⁦e²^x = e^x⁺³⁩ في مجموعة الأعداد الحقيقية.

🎯المطلوب: حلّ في ℝ المعادلة ⁦e²^x = e^x⁺³⁩.

🔹الخطوة 1: حذف الأسّية

الطرفان أسّيتان بسيطتان، فنطبّق المكافأة مباشرة.

e²^x = e^x⁺³ ⟺ 2x = x + 3

🔹الخطوة 2: الحلّ

معادلة من الدرجة الأولى.

2x - x = 3

✅النّتيجة

حلّ وحيد.

S = {3}

لا تُقسّم على e^x و لا تحسب شيئا: المكافأة تحذف الأسّية دفعة واحدة. أيّ محاولة حساب هنا مضيعة للوقت.

مثال 2: تغيير المجهول

نعتبر المعادلة ⁦e²^x - (e + 1)e^x + e = 0⁩.

🎯المطلوب: حلّ في ℝ هذه المعادلة بوضع ⁦X = e^x⁩.

🔹الخطوة 1: المعادلة الجديدة

نضع ⁦X = e^x⁩، و نلاحظ أنّ ⁦e²^x = (e^x)² = X²⁩. الشرط الضروري: ⁦X > 0⁩.

X² - (e + 1)X + e=0

🔹الخطوة 2: التحليل

مميّز أو تحليل مباشر: مجموع الجذرين ⁦e + 1⁩ و جداؤهما e.

X² - (e + 1)X + e=(X - 1)(X - e)

🔹الخطوة 3: الرجوع إلى x — حالتان

الجذران موجبان تماما، فكلاهما مقبول: نعالج الحالتين إمّا و إمّا.

e^x = 1 ; e^x = e

✅النّتيجة

نطبّق مكافأة التساوي على كلّ حالة.

S = {0 ; 1}

⛔ الشرط ⁦X > 0⁩ ليس زينة: لو وجدت جذرا سالبا أو معدوما، يُرفض، لأنّ e^x لا يأخذ أبدا قيمة سالبة أو معدومة. هذا هو الخطأ الأوّل في هذا النوع من التمارين.

مثال 3: متراجحة أسّية

نعتبر المتراجحة ⁦e³^x⁻¹ ≤ e^x⁺⁵⁩.

🎯المطلوب: حلّ في ℝ المتراجحة ⁦e³^x⁻¹ ≤ e^x⁺⁵⁩.

🔹الخطوة 1: حذف الأسّية

المكافأة تحفظ اتّجاه المتراجحة لأنّ الأسّية متزايدة تماما.

e³^x⁻¹ ≤ e^x⁺⁵ ⟺ 3x - 1 ≤ x + 5

🔹الخطوة 2: الحلّ

متراجحة من الدرجة الأولى.

2x ≤ 6

✅النّتيجة

مجموعة الحلول مجال.

S = ]-∞ ; 3]

⛔ لا تنقلب المتراجحة عند حذف الأسّية: التزايد التامّ يحفظ الترتيب. ينقلب الاتجاه عند الضرب في عدد سالب أو عند تطبيق دالة متناقصة تماما، و هذا ليس ما نفعله هنا.

مثال 4: المقارنة بالواحد

نعتبر المتراجحة ⁦e^x⁻² < 1⁩.

🎯المطلوب: حلّ في ℝ المتراجحة ⁦e^x⁻² < 1⁩، ثمّ استنتج إشارة العبارة ⁦e^x⁻² - 1⁩ على ℝ.

🔹الخطوة 1: كتابة الواحد أسّية

العدد 1 هو e⁰، فالمتراجحة صارت بين أسّيتين.

e^x⁻² < 1 ⟺ e^x⁻² < e⁰

🔹الخطوة 2: حذف الأسّية

نحذف الأسّية بالمكافأة.

x - 2 < 0

✅النّتيجة

متراجحة مباشرة.

S = ]-∞ ; 2[

حفظ ⁦e⁰ = 1⁩ يحوّل كلّ مقارنة بالواحد إلى مقارنة بين أسّيتين. و الإشارة تُقرأ مباشرة: العبارة سالبة على ⁦]-∞ ; 2[⁩، معدومة عند 2، موجبة بعده.

في دراسة دالة، إشارة عبارة أسّية سؤال متكرّر. اكتب دائما السطر الأوّل: « من أجل كلّ x من ℝ لدينا ⁦e^x > 0⁩ » — إنّه سطر يُنقّط، و هو الذي يسمح بعد ذلك بحذف العامل الأسّي من جدول الإشارة دون تبرير إضافي.

الخلاصة: الأسّية موجبة تماما و متزايدة تماما. من الأولى تأتي الإشارة، و من الثانية تأتي المكافآت ⁦e^a = e^b ⟺ a = b⁩ و ⁦e^a < e^b ⟺ a < b⁩. و إذا امتنع الإرجاع إلى أسّية واحدة، فتغيير المجهول ⁦X = e^x⁩ يفتح الطريق — بشرط ⁦X > 0⁩.

الصفحة 1/7