الأعداد والحساب (تابع) › التعداد
الانتقال من نظام أساسه α إلى نظام أساسه β
الجواب في كلمة: الطريق ليس واحدا. هناك طريق مضمون يجعل من النظام العشري محطّة وسطى، و طريق أقصر يفكّك قوى الأساس الأوّل مباشرة وفق قوى الأساس الثاني. الطريقان يعطيان الكتابة نفسها حتما — و هذا التطابق ليس صدفة نتفاءل بها، بل هو أفضل تحقّق تملكه، لأنّ خطأ في أحد الطريقين لا يكاد يتكرّر بعينه في الآخر.
- الانتقال من نظام أساسه α إلى نظام أساسه β بالمرور عبر النظام العشري
- الانتقال مباشرة، بتفكيك قوى الأساس الأوّل وفق قوى الأساس الثاني
- إتمام سلسلة القسمات المتتابعة كاملة، دون قفز أيّ قسمة
- تفكيك معامل يفوق الأساس، حتّى تصير كلّ المعاملات أرقاما
- التحقّق من كلّ كتابة بشرط الأرقام، و بإعادة التركيب، و بتطابق الطريقين
- نشر عدد طبيعي وفق أساس، و شرط أرقامه: كلّ رقم أصغر تماما من الأساس
- المرور من أساس إلى النظام العشري بالتعويض في قوى الأساس
- المرور من النظام العشري إلى أساس بالقسمات المتتابعة
- قوى الأعداد 2 و 4 و 8، و أنّ 8 يساوي 2³ و يساوي أيضا 2×4
1. ما الذي يتغيّر، و ما الذي لا يتغيّر
قبل أيّ حساب، ثبّت هذه الجملة: الأساس يغيّر الكتابة، و لا يغيّر العدد. عدد الأغنام في الحظيرة لا ينقص لأنّنا عددناها بالثمانية بدل العشرة. و لهذا كان لكلّ انتقال بين نظامين ثابت لا يتزحزح: القيمة. و كلّ طريقة من الطرائق الآتية ليست إلّا وسيلة للحفاظ على هذا الثابت أثناء تبديل الأرقام.
ثلاثة أرقام: 6 في موضع القوّة الثانية، 4 في موضع القوّة الأولى، 3 في موضع الوحدات. و كلّها أصغر تماما من 8، فالكتابة مقبولة في هذا النظام.
هذا النشر هو الثابت الذي نشتغل عليه في كلّ ما يأتي: كلّ الطرائق تعيد كتابته، و لا واحدة منها تغيّر قيمته.
2. الطريق الأوّل: المرور بالنظام العشري
هذا الطريق لا يطلب منك شيئا جديدا: كلّ خطوة فيه درستها في الدرس السابق. تذهب أوّلا من الأساس α إلى النظام العشري بالتعويض، ثمّ تنطلق من النظام العشري إلى الأساس β بالقسمات المتتابعة. النظام العشري ليس هدفا هنا، بل محطّة.
- نعوّض أرقام الكتابة في قوى الأساس α و نجمع، فنحصل على القيمة في النظام العشري
- نقسم هذه القيمة على الأساس β قسمات متتابعة، و نحتفظ بكلّ باق
- نتوقّف عند أوّل حاصل أصغر تماما من β، ثمّ نكتب الحاصل الأخير ثمّ البواقي معكوسة
3. الطريق الثاني: مباشرة، بتفكيك قوى الأساس
الطريق المباشر يقوم على ملاحظة واحدة: إن استطعنا كتابة قوى الأساس الأوّل بقوى الأساس الثاني، فلن نحتاج إلى المرور بالعشري أصلا. و هذا ممكن كلّما كان بين الأساسين صلة ضربية بسيطة.
ثمانية هي مكعّب الاثنين. و منها تُشتقّ كلّ القوى الأخرى: يكفي جمع الأسس.
نرفع المساواة السابقة إلى المربّع: مكعّب مرفوع إلى المربّع أسّه ستّة.
⭐ الصلة نفسها تُقرأ بطريقة أخرى حين يكون الأساس الجديد هو 4: ثمانية ضِعف أربعة. و هذه القراءة هي التي تفتح الطريق إلى النظام ذي الأساس 4.
نربّع المساواة السابقة: مربّع الجداء جداء المربّعين. و بما أنّ 2² يساوي 4، سيصير هذا الحدّ قوّة ثالثة للأربعة عند التبسيط.
و بعد التعويض تظهر مشكلة يجب أن تنتظرها: المعاملات التي تخرج ليست بالضرورة أرقاما. قد يخرج لك معامل يساوي 3 في نظام أساسه 2، أو معامل يساوي 6 في نظام أساسه 4. عندئذ لم تنته بعد: تفكّك المعامل نفسه وفق الأساس، فتترقّى قوّة و ينزل الباقي.
ثلاثة ليست رقما في النظام الثنائي. نكتبها اثنين و واحدا، فيصير حدّ في القوّة الموالية و حدّ يبقى مكانه.
ستّة ليست رقما في النظام ذي الأساس 4. نكتبها اثنين و أربعة: الأربعة ترفع القوّة درجة، و الاثنان يبقيان معاملا مقبولا.
4. التحقّقان اللذان لا يُتركان
كلّ كتابة تخرج من انتقال بين نظامين تمرّ على تحقّقين، و هما رخيصان جدّا بالنظر إلى ما يوفّرانه. الأوّل يكشف الخطأ في طبيعة الأرقام، و الثاني يكشف الخطأ في ترتيبها أو في الحساب.
سطر واحد بالعين: أكبر رقم في السلسلة، هل هو أصغر تماما من الأساس؟ إن لا، فالكتابة خاطئة قطعا و لا حاجة إلى إعادة الحساب لتعرف ذلك.
نضرب كلّ رقم في قوّة الأساس المرافقة لموضعه و نجمع: إن رجعنا إلى العدد الذي انطلقنا منه فالكتابة صحيحة. و هذا التحقّق يكشف خطأ الترتيب في الحال.
5. متى تختار هذا و متى تختار ذاك
لا توجد قاعدة تُحفظ هنا، بل ملاحظة واحدة: انظر أوّلا إن كان بين الأساسين صلة ضربية بسيطة. إن وجدتها فالطريق المباشر أقصر، لأنّه يستغني عن سلسلة القسمات كلّها. و إن لم تجدها فالطريق الأوّل يبقى مضمونا مهما كان الأساسان، و هو الذي تختاره عند الشكّ.
- بين الأساسين صلة بسيطة — كما بين 8 و 2، أو بين 8 و 4: الطريق المباشر أقصر
- لا صلة ظاهرة بين الأساسين: المرور بالنظام العشري، فهو يشتغل دائما
- الوقت ضيّق في الامتحان: أنجز واحدا منهما بعناية، ثمّ تحقّق بإعادة التركيب — و لا تنجز الطريقين إلّا إن طُلب ذلك صراحة
عدد طبيعي a يكتب في النظام ذي الأساس 8 بسلسلة الأرقام 6 ثمّ 4 ثمّ 3. هذه القيمة العشرية هي المحطّة الوسطى للطريق الأوّل، و سنعود إليها في المثال الموالي.
🎯المطلوب: اكتب العدد a في النظام العشري.
نكتب المعطى بالاصطلاح: السلسلة تحت سطرة، و الأساس مقولا بالكلام.
نتحقّق أوّلا من أنّ السلسلة تصلح كتابة في الأساس 8: أكبر أرقامها هو 6.
نرقّم المواضع من اليمين ابتداء من الصفر، ثمّ نكتب النشر وفق قوى الثمانية.
نحسب القوّة الوحيدة التي نحتاجها.
ثمّ الحدّ الأقوى.
ثمّ الحدّ الأوسط.
نجمع الحدود الثلاثة، و رقم الوحدات يدخل كما هو.
فنحصل على قيمة العدد في النظام العشري.
ننطلق من القيمة العشرية 419 التي وجدناها في المثال 1، و نبني كتابتها في النظام الثنائي بالقسمات المتتابعة. ثماني قسمات، و لا واحدة تُقفَز.
🎯المطلوب: اكتب العدد 419 في النظام ذي الأساس 2 بالقسمات المتتابعة.
نقسم على الأساس 2 قسمة إقليدية أولى.
الحاصل 209 أكبر من 2، فنقسمه بدوره.
و هكذا: كلّ حاصل جديد يُقسم ما دام أكبر من أو يساوي 2.
نواصل، و الباقي معدوم مرّة أخرى لأنّ العدد زوجيّ.
و مرّة ثالثة.
العدد 13 فرديّ، فالباقي يساوي 1.
ثمّ 6 زوجيّ.
و 3 فرديّ، و حاصله 1.
الحاصل الآن هو 1، و هو أصغر تماما من الأساس: نتوقّف، و هذا الحاصل هو q.
نجمع البواقي الثمانية بترتيب الحصول عليها.
⛔ ثمّ نكتب الحاصل الأخير أوّلا، تتبعه البواقي معكوسة: الأخير أوّلا و الأوّل أخيرا.
نضع السلسلة التساعية تحت سطرة.
ننجز الانتقال نفسه، لكن دون المرور بالنظام العشري: نفكّك قوى الثمانية وفق قوى الاثنين. لا قسمة واحدة في هذا الطريق.
🎯المطلوب: اكتب العدد a في النظام ذي الأساس 2 مباشرة، بتفكيك قوى الأساس 8.
ننطلق من النشر وفق قوى الثمانية، دون أن نحسب أيّ قيمة عشرية.
نكتب المعاملين 6 و 4 بقوى الاثنين: ستّة جداء ثلاثة في اثنين، و أربعة مربّع اثنين.
و نكتب قوى الثمانية بقوى الاثنين: مربّع الثمانية هو 2⁶، و الثمانية هي 2³.
نجمع الأسس في الحدّ الأوّل: واحد و ستّة يعطيان سبعة.
و في الحدّ الثاني: اثنان و ثلاثة يعطيان خمسة.
فتصير الكتابة أقصر بكثير.
⛔ لكنّها ليست كتابة في النظام الثنائي بعد: المعامل 3 ليس رقما في هذا النظام، و كذلك الحدّ الحرّ. نفكّك الثلاثة إلى اثنين و واحد.
نعوّض هذا التفكيك في المعامل و في الحدّ الحرّ معا.
و ننشر الجداء: اثنان في 2⁷ يعطيان 2⁸، و واحد في 2⁷ يبقى 2⁷.
فتصير كلّ الحدود قوى للاثنين، بمعاملات تساوي 1.
نكمل المواضع الغائبة بمعاملات معدومة، من القوّة الثامنة إلى الوحدات، دون أن نقفز موضعا واحدا.
نقرأ المعاملات من الأقوى إلى الأضعف.
نغيّر الأساس الواصل هذه المرّة: من الأساس 8 إلى الأساس 4، و مباشرة كذلك. المفتاح هو أنّ الثمانية ضِعف الأربعة.
🎯المطلوب: اكتب العدد a في النظام ذي الأساس 4 مباشرة.
ننطلق من النشر نفسه وفق قوى الثمانية.
نكتب قوى الثمانية بدلالة الأربعة: الثمانية ضِعف الأربعة، فمربّعها جداء مربّعيهما.
في الحدّ الأوّل، 2² يساوي 4، فيلتحق بقوى الأربعة و ترتفع القوّة درجة.
و في الحدّ الثاني، أربعة في اثنين يساوي ثمانية أي 2×4، فيصير الحدّ 2×4².
فتصير الكتابة بقوى الأربعة وحدها.
⛔ لكنّها ليست كتابة في النظام ذي الأساس 4 بعد: المعامل 6 يفوق الأساس. نفكّكه.
نعوّض هذا التفكيك في المعامل.
و ننشر الجداء: اثنان في 4³ يبقيان 2×4³، و أربعة في 4³ تعطي 4⁴.
فتصير كلّ المعاملات أصغر تماما من الأساس 4.
نكمل الموضع الغائب بمعامل معدوم: موضع القوّة الأولى لا رقم فيه.
نقرأ المعاملات الخمسة من الأقوى إلى الأضعف.
و نمرّ على التحقّق الأوّل: أكبر رقم في السلسلة هو 3، و هو أصغر تماما من الأساس.
بقيت الخطوة التي لا يراها التلميذ ضرورية و هي أهمّ ما في الدرس: نتأكّد أنّ الكتابتين اللتين وجدناهما تدلّان فعلا على العدد نفسه.
🎯المطلوب: تحقّق من صحّة الكتابتين في الأساسين 2 و 4 بإعادة تركيب كلّ منهما.
نبدأ بالكتابة الثنائية. نحسب القوى غير المعدومة المعاملات، و أوّلها القوّة الثامنة.
ثمّ القوّة السابعة.
ثمّ القوّة الخامسة، و هي آخر قوّة معاملها غير معدوم قبل الوحدات.
نكتب نشر السلسلة الثنائية: خمس قوى معاملاتها تساوي 1، و أربعة مواضع معاملاتها معدومة.
نجمع القوى الخمس.
ننتقل إلى الكتابة في الأساس 4. نحسب قواها.
ثمّ القوّة الثالثة.
ثمّ القوّة الثانية.
نكتب نشر السلسلة الخماسية، كلّ رقم في قوّة موضعه، بما فيها الموضع ذو المعامل المعدوم.
نضرب كلّ رقم في قوّته: الرقم 2 في القوّة الثالثة.
ثمّ الرقم 2 في القوّة الثانية.
نجمع الحدود الخمسة، و منها حدّ معدوم لموضع القوّة الأولى.
الكتابتان ترجعان إلى القيمة نفسها، و هي القيمة التي انطلقنا منها في المثال 1.
الصفحة 1/11
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net