الأعداد والحساب (تابع) › مبرهنة بيزو - مبرهنة غوص
مبرهنة غوص
الجواب كلمة واحدة: أن يكون القاسمان أوليين فيما بينهما. و الأداة التي تُثبت ذلك تحمل اسم رياضي ألماني، كارل فريدريش غوص (1777–1855)، و هي في الحقيقة نتيجة مباشرة لمبرهنة بيزو التي رأيتها في الدرس السابق. مبرهنة غوص تقول شيئا واحدا، بسيطا في نصّه و قويّا في أثره: إذا قسم عدد جداء، و كان أوليّا مع أحد العاملين، فهو يقسم العامل الآخر. من هذه الجملة وحدها تخرج معايير القسمة المركّبة، و حلّ المعادلات في ℤ²، و البرهان على قابلية قسمة عبارات حرفية.
- نصّ مبرهنة غوص و برهانها انطلاقا من مبرهنة بيزو
- استعمال غوص لاستنتاج أنّ عددا يقسم عاملا من جداء
- توظيف خاصية العدد الأوّلي الذي يقسم جداء عددين
- إثبات أنّ عددا مضاعف لجداء عددين أوليين فيما بينهما
- تعيين كلّ الثنائيات الصحيحة الحلّ لمعادلة من الدرجة الأولى بمجهولين
- البرهان على أنّ عبارة حرفية تقبل القسمة على 6 مهما كان n
- القسمة الإقليدية في ℤ و معنى العبارة «العدد a يقسم العدد b»
- القاسم المشترك الأكبر، و معنى «عددان أوليان فيما بينهما»
- مبرهنة بيزو و علاقتها بالأوليّة فيما بينهما
- الموافقات في ℤ و دراسة الحالات حسب بواقي القسمة
1. مبرهنة غوص و برهانها
نبدأ بالنصّ، ثمّ نبرهنه. لاحظ أنّ البرهان لا يستعمل شيئا آخر غير مبرهنة بيزو: هي التي تحوّل عبارة «أوليان فيما بينهما» إلى مساواة يمكن ضربها في عدد، و هذا هو كلّ السرّ.
البرهان. نكتب فرضيّتي المبرهنة الواحدة تلو الأخرى، ثمّ نجمع بينهما.
بما أنّ a و b أوليان فيما بينهما، تضمن مبرهنة بيزو وجود عددين صحيحين u و v يحقّقان هذه المساواة. لا نحتاج إلى معرفتهما، يكفي أنّهما موجودان.
نضرب المساواة كلّها في c. الطرف الأيمن كان 1 فصار c، و هذا بالضبط العدد الذي نريد إثبات قابليته للقسمة على a.
الحدّ c a u يحتوي على العامل a نفسه، إذن قسمته على a واضحة.
من الفرضية الأولى، a يقسم b c. و إذا قسم عدد عددا، فهو يقسم كلّ مضاعفاته: هنا نضرب في v.
مجموع مضاعفين للعدد a هو مضاعف للعدد a. هذه خاصية التركيب الخطّي التي رأيتها في قابلية القسمة.
لأنّ المجموع في الخطوة السابقة يساوي c تماما، بحكم الخطوة 2.
باقي قسمة 9 على 6 هو 3، إذن 6 لا يقسم 9. و مع ذلك 6 يقسم الجداء: الفرضية المفقودة هي وحدها المسؤولة.
2. خاصية 1: عدد أوّلي يقسم جداء، إذن يقسم أحد عامليه
النتيجة الأولى لمبرهنة غوص تخصّ الأعداد الأولية. ليكن a و b عددين طبيعيين غير معدومين، و p عددا أوّليا. إذا كان p يقسم الجداء a b، فإنّ p يقسم a أو p يقسم b. و الصيغة التي تُستعمل بها في التمارين هي الصيغة الآتية، و هي تكافئها.
البرهان. ندرس الحالتين الممكنتين، و لا توجد حالة ثالثة.
إذا كان p يقسم a فالخاصية محقّقة فورا: أحد العاملين مقسوم، و لا شيء آخر مطلوب.
القاسم المشترك الأكبر لـ a و p يقسم p، و العدد الأوّلي p لا يقبل في ℕ إلّا القاسمين 1 و p.
لو كان القاسم المشترك الأكبر يساوي p، لكان p قاسما للعدد a. و هذا يناقض فرضية الحالة الثانية.
لدينا p يقسم الجداء a b، و p أوليّ مع a. مبرهنة غوص تعطي مباشرة أنّ p يقسم b.
3. خاصية 2: مضاعف لعددين أوليين فيما بينهما، إذن مضاعف لجدائهما
هذه هي الخاصية التي فتحت الدرس، و هي أكثر نتائج غوص استعمالا في البكالوريا: هي التي تسمح بتركيب معياري قسمة للحصول على معيار ثالث.
البرهان. نترجم كلّ فرضية إلى مساواة، ثمّ نجعل غوص تعمل على المساواة التي نحصل عليها.
a مضاعف للعدد b معناه وجود عدد طبيعي d يحقّق هذه المساواة.
بنفس الطريقة، a مضاعف للعدد c معناه وجود عدد طبيعي d' آخر.
الطرفان متساويان بحكم الخطوة 3، و ما يقسم أحدهما يقسم الآخر.
⭐ هنا بالضبط تدخل غوص: العدد c يقسم الجداء d b و هو أوليّ مع b، إذن يقسم العامل الآخر d.
العدد a مكتوب على شكل جداء العدد b c في عدد طبيعي، إذن هو مضاعف له.
باقي قسمة 12 على 24 هو 12، إذن 12 ليس مضاعفا للعدد 24، رغم أنّه مضاعف للعددين 4 و 6.
العدد المدروس هو 116916، و المعياران المستعملان هما معيار القسمة على 3 و معيار القسمة على 4، و كلاهما مبرهن في باب الموافقات.
🎯المطلوب: بيّن أنّ العدد 116916 يقبل القسمة على 12.
نحسب مجموع أرقام العدد. هذا هو معيار القسمة على 3 الذي برهنّاه في باب الموافقات.
العدد 24 مضاعف للعدد 3، إذن العدد كلّه كذلك.
نكتب الحاصل صراحة، حتّى لا يبقى شيء في الذهن.
معيار القسمة على 4 يقرأ العدد المكوّن من رقمي الآحاد و العشرات وحدهما.
إذن العدد كلّه يقبل القسمة على 4.
⭐ هذه هي الخطوة التي لا يجوز القفز فوقها: لولا هذه المساواة لما جاز ضرب القاسمين في بعضهما.
نطبّق خاصية 2: العدد مضاعف للعددين 3 و 4 و هما أوليان فيما بينهما.
4. غوص في حلّ معادلة بمجهولين في ℤ²
هذا هو الاستعمال الثاني لغوص، و هو أكثرها حضورا في مواضيع البكالوريا. الفكرة ثابتة: نحوّل المعادلة إلى عبارة «هذا العدد يقسم ذلك الجداء»، ثمّ نطبّق غوص للانتقال إلى المجهول وحده. نبدأ بالحالة التي طرفها الثاني معدوم، لأنّها أبسط، ثمّ ننتقل منها.
نعمل في المجموعة ℤ²، أي أنّ المجهولين x و y عددان صحيحان، و k يرمز دائما إلى عدد صحيح كيفيّ.
🎯المطلوب: عيّن في ℤ² مجموعة حلول المعادلة ذات المجهول الثنائي 9 x − 16 y = 0.
ننقل أحد الحدّين إلى الطرف الآخر: هكذا يصير للمعادلة شكل «جداء يساوي جداء».
العدد 16 يقسم الطرف الأيمن بداهة، لأنّه عامل فيه.
و بما أنّ الطرفين متساويان، فهو يقسم الطرف الأيسر كذلك.
⭐ هنا تدخل غوص، و لا يجوز الدخول قبل هذه الخطوة.
العدد 16 يقسم الجداء 9 x و هو أوليّ مع 9، إذن يقسم العامل الآخر.
نترجم القسمة إلى كتابة: كلّ مضاعف للعدد 16 يكتب هكذا.
نعوّض في مساواة الخطوة 1 لنحصل على المجهول الثاني.
نبسّط بالعدد 16 غير المعدوم.
نتحقّق عكسيا: كلّ ثنائية من هذا الشكل حلّ فعلا.
نعمل دائما في ℤ²، و نعلم من المثال السابق أنّ الثنائية (4 ; 2) تبدو مرشّحة لتكون حلّا خاصّا.
🎯المطلوب: تحقّق من أنّ الثنائية (4 ; 2) حلّ، ثمّ استنتج مجموعة حلول المعادلة 9 x − 16 y = 4.
نتحقّق أوّلا من أنّ الثنائية المقترحة حلّ. هذا هو الحلّ الخاصّ، و بدونه لا يمكن الانطلاق.
نكتب المعادلة العامّة و المساواة الخاصّة الواحدة تحت الأخرى.
نطرح المساواة الثانية من الأولى طرفا بطرف: العدد 4 يختفي من الطرف الثاني.
و ها نحن عدنا تماما إلى المثال السابق، لكن بالمجهولين المزاحين.
العدد 16 يقسم الطرف الأيمن، إذن يقسم الطرف الأيسر.
⭐ الأوليّة فيما بينهما هي مرّة أخرى شرط الدخول.
نطبّق غوص على العامل الآخر.
نترجم القسمة إلى كتابة، ثمّ نعزل المجهول الأوّل.
نعوّض في مساواة الخطوة 4.
نبسّط بالعدد 16 ثمّ نعزل المجهول الثاني.
⛔ التحقّق العكسي جزء من الحلّ، و تُنقّط عليه في البكالوريا. ننشر أوّلا.
الحدّان بالمعامل k متعاكسان فيختفيان، و يبقى فرق العددين.
الشكل المقابل يجمع ما سبق في صورة واحدة: حلول المعادلة نقاط منتظمة التباعد على مستقيم واحد. من حلّ إلى الذي يليه، يزيد المجهول الأوّل بمقدار 16 و يزيد الثاني بمقدار 9 — و هذان العددان هما بالضبط معاملا المعادلة، بعد تبديل موضعيهما.
5. غوص في البرهان على قابلية قسمة عبارة حرفية
الاستعمال الثالث و الأخير: عبارة تتعلّق بعدد طبيعي n، و يُطلب إثبات أنّها تقبل القسمة على عدد مركّب مهما كانت قيمة n. الطريقة ثابتة: نفكّك القاسم إلى عاملين أوليين فيما بينهما، نبرهن على كلّ واحد على حدة بدراسة البواقي، ثمّ نركّب بخاصية 2.
ليكن n عددا طبيعيا كيفيّا، و A = n (5 n + 1) (13 n + 1). نستعمل الموافقات في دراسة الحالات، ثمّ خاصية 2 في التركيب.
🎯المطلوب: أثبت أنّ العدد A يقبل القسمة على 6 مهما كان العدد الطبيعي n.
نفكّك القاسم 6 إلى عاملين.
و نتأكّد أنّ العاملين أوليان فيما بينهما: هذا هو ما سيسمح بالتركيب في آخر التمرين.
نمرّ إلى القسمة على 2. البواقي الممكنة اثنان لا غير.
إذا كان n زوجيا فالعامل الأوّل من الجداء، و هو n نفسه، معدوم بترديد 2.
إذا كان n فرديا، ننظر إلى العامل الثاني: نعوّض 1 مكان n.
و العدد 6 زوجيّ، إذن العامل الثاني معدوم بترديد 2.
جداء فيه عامل معدوم بترديد 2 هو معدوم بترديد 2.
في الحالتين معا، إذن مهما كان العدد الطبيعي n.
نمرّ إلى القسمة على 3. البواقي الممكنة ثلاثة.
الحالة الأولى واضحة: العامل الأوّل هو n نفسه.
في الحالة الثانية ننظر إلى العامل الثاني.
و العدد 6 مضاعف للعدد 3، لأنّ 6 = 3 × 2.
في الحالة الثالثة ننظر إلى العامل الثالث هذه المرّة، فنعوّض 2 مكان n.
و العدد 27 مضاعف للعدد 3، لأنّ 27 = 3 × 9.
⛔ في الحالات الثلاث الترديد هو 3، لا 2: تأكّد من العدد بين المعقوفتين قبل أن تكتب هذا السطر.
⭐ و هنا تعمل خاصية 2: العدد A مضاعف للعددين 2 و 3، و هما أوليان فيما بينهما.
العدد 6 ليس فقط قاسما للعبارة A، بل هو أكبر عدد يقسمها مهما كان n. حسبنا القاسم المشترك الأكبر لكلّ القيم من 1 إلى 10000 فوجدناه 6 بالضبط. يكفي مثالان لرؤية ذلك.
أيّ قاسم مشترك لكلّ قيم A يجب أن يقسم هاتين القيمتين، و أكبر قاسم مشترك لهما هو 6. إذن لا يمكن أن نأمل في أفضل من 6.
Page 1/8
© Madrassati — a lesson written by Madrassati · madrassati.net