الأعداد والحساب (تابع) › مبرهنة بيزو - مبرهنة غوص
حل مسائل في الحساب: المعادلة ax + by = c
الشرط يُختبر في سطر واحد: يجب أن يقسم القاسم المشترك الأكبر للمعاملين الطرف الثاني للمعادلة. إن لم يقسمه، فلا حلّ أصلا و ينتهي التمرين في سطرين. و إن قسمه، فالحلول لا نهائية، و تُكتب كلّها بعبارتين تتعلّقان بعدد صحيح كيفيّ k. و الطريق إليها ثابت: حلّ خاصّ واحد، ثمّ مبرهنة غوص، ثمّ تحقّق عكسيّ.
- معرفة الشرط الضروري و الكافي لوجود حلول صحيحة
- تعيين حلّ خاصّ بخوارزمية إقليدس الصاعدة
- استنتاج كلّ الحلول بمبرهنة غوص ثمّ التحقّق عكسيا
- حلّ المعادلة بطريقة ثانية، بالموافقات
- معالجة الحالة التي لا تقبل فيها المعادلة أيّ حلّ
- توظيف الطريقة في وضعية مأخوذة من الواقع
- القسمة الإقليدية و خوارزمية إقليدس لحساب القاسم المشترك الأكبر
- مبرهنة بيزو، و معنى معاملَي بيزو لعددين
- مبرهنة غوص و خاصيتاها
- الموافقات في ℤ و حلّ ترديدة من الدرجة الأولى بدراسة كلّ البواقي
1. متى تقبل المعادلة حلولا في ℤ²؟
ليكن a و b عددين صحيحين غير معدومين، و c عددا صحيحا. ندرس المعادلة ذات المجهول الثنائي، أي أنّنا نبحث عن الثنائيات الصحيحة وحدها. الجواب كامل، و هو شرط ضروريّ و كافٍ في آن واحد. ⚖️ و نسمّي القاسم المشترك الأكبر للمعاملين بالحرف g، لا بالحرف d، لأنّ الحرف d محجوز في هذا الدرس لمجهول تمرين البكالوريا في آخره.
البرهان، و هو اتّجاهان. نبدأ بالاتّجاه المباشر: نفترض أنّ حلّا موجود، و نستنتج الشرط.
ما يقسم عددين يقسم كلّ عبارة من الشكل «مضاعف للأوّل زائد مضاعف للثاني». هذه هي خاصية التركيب الخطّي.
لأنّ التركيب الخطّي في السطر السابق يساوي c بالضبط، بحكم المعادلة.
و الآن الاتّجاه العكسي: نفترض الشرط محقّقا، و نبني حلّا صريحا. هنا تتدخّل مبرهنة بيزو، و هي التي تجعل الشرط كافيا.
العدد g يقسم c، إذن يوجد عدد صحيح c' يحقّق هذه المساواة.
من نتائج مبرهنة بيزو: يوجد دائما عددان صحيحان u و v يعطيان القاسم المشترك الأكبر على هذا الشكل.
الطرف الأيمن يساوي c بحكم الخطوة 5، إذن هذه الثنائية الصحيحة حلّ فعليّ للمعادلة. و هكذا يصير الشرط ضروريا و كافيا معا.
الشكل المقابل يلخّص القرار كلّه: اختبار واحد في الأعلى، و فرعان لا ثالث لهما.
2. الطريقة، في خمس خطوات ثابتة
هذه الخطوات لا تتغيّر من تمرين إلى آخر. احفظ ترتيبها، فهو نفسه في كلّ مواضيع البكالوريا التي تحمل معادلة بمجهولين في ℤ².
- اختبار الوجود: نحسب القاسم المشترك الأكبر للمعاملين، و ننظر هل يقسم الطرف الثاني. إن لم يقسمه، نكتب أنّ المجموعة خالية و ينتهي التمرين.
- التبسيط: نقسم المعادلة كلّها على هذا القاسم المشترك الأكبر، حتّى يصير المعاملان أوليين فيما بينهما. بدون هذه الخطوة لا يجوز استعمال غوص.
- الحلّ الخاصّ: نعيّن ثنائية واحدة تحقّق المعادلة، بالنظر إن كانت بسيطة، و بخوارزمية إقليدس الصاعدة إن لم تكن كذلك.
- الطرح طرفا بطرف: نطرح المساواة الخاصّة من المعادلة، فيختفي الطرف الثاني و نعود إلى شكل «جداء يساوي جداء». ثمّ نطبّق مبرهنة غوص.
- التحقّق العكسي: نعوّض الشكل العامّ في المعادلة و نتأكّد أنّه يحقّقها مهما كان k. هذه الخطوة جزء من الحلّ، لا زيادة عليه.
المعادلة معطاة في المجموعة ℤ²، و k يرمز دائما إلى عدد صحيح كيفيّ.
🎯المطلوب: حلّ في ℤ² المعادلة ذات المجهول الثنائي 7 x + 12 y = 5.
نحسب القاسم المشترك الأكبر: العدد 7 أوّليّ و لا يقسم 12.
العدد 1 يقسم كلّ عدد، إذن الشرط محقّق و الحلول موجودة.
ننزل بخوارزمية إقليدس حتّى نبلغ الباقي 1: القسمة الأولى.
القسمة الثانية، على الباقي الأوّل.
القسمة الثالثة: نبلغ الباقي 1، فنتوقّف.
⭐ الصعود: نعزل الباقي 1 من آخر قسمة، ثمّ نعوّض البواقي واحدا واحدا صعودا.
نعزل الباقي 2 من القسمة التي قبلها.
نعوّضه في مساواة الخطوة 6.
ننشر و نجمع الحدود المتشابهة.
نعزل الآن الباقي 5 من القسمة الأولى.
نعوّضه بدوره.
ننشر مرّة أخيرة: ها هي علاقة بيزو للعددين 7 و 12.
نعيد ترتيبها على شكل المعادلة المدروسة.
⛔ لا تنسَ الضرب في الطرف الثاني: علاقة بيزو تعطي 1، و المعادلة تطلب 5.
هذه إذن ثنائية تحقّق المعادلة: هي الحلّ الخاصّ.
نطرح المساواة الخاصّة من المعادلة طرفا بطرف: الطرف الثاني 5 يختفي.
ننقل أحد الحدّين لنحصل على «جداء يساوي جداء».
العدد 12 يقسم الطرف الأيمن، إذن يقسم الطرف الأيسر.
⭐ باب غوص: العدد 12 أوليّ مع 7، إذن يقسم العامل الآخر.
نترجم القسمة إلى كتابة، ثمّ نعزل المجهول الأوّل.
نعوّض في مساواة الخطوة 17.
نبسّط بالعدد 12 غير المعدوم، ثمّ نعزل المجهول الثاني.
التحقّق العكسي: ننشر أوّلا.
الحدّان بالمعامل k متعاكسان فيختفيان، و يبقى فرق العددين.
نعمل في ℤ²، و المعاملان هنا ليسا أوليين فيما بينهما: هذا هو الفرق الوحيد مع المثال السابق، و هو يضيف خطوة واحدة في البداية.
🎯المطلوب: حلّ في ℤ² المعادلة ذات المجهول الثنائي 20 x − 45 y = 5.
نحسب القاسم المشترك الأكبر للمعاملين. هنا هو 5، لأنّ العددين مضاعفان للعدد 5.
و العدد 5 يقسم الطرف الثاني 5. الشرط محقّق، إذن الحلول موجودة.
⛔ الخطوة التي لا يجوز القفز فوقها: نقسم المعادلة كلّها على 5، و إلّا امتنع استعمال غوص لأنّ 20 و 45 ليسا أوليين فيما بينهما.
نتأكّد أنّ المعاملين الجديدين أوليان فيما بينهما: هذا هو مربح الخطوة السابقة.
قسمة إقليدية واحدة تكفي هنا لبلوغ الباقي 1.
نعزل الباقي 1: ها هي علاقة بيزو مباشرة.
نعيد ترتيبها على شكل المعادلة المبسّطة.
الحلّ الخاصّ إذن جاهز، و لا حاجة إلى ضربه في شيء لأنّ الطرف الثاني هو 1.
نطرح طرفا بطرف.
ننقل الحدّ الثاني.
العدد 9 يقسم الطرف الأيمن، إذن يقسم الطرف الأيسر.
⭐ غوص: العدد 9 أوليّ مع 4.
نترجم و نعزل.
نعوّض في مساواة الخطوة 10.
نبسّط بالعدد 9 ثمّ نعزل.
⛔ التحقّق العكسي يُنجز على المعادلة الأصلية، لا على المبسّطة. ننشر أوّلا.
الحدّان بالمعامل k متعاكسان فيختفيان.
نعمل دائما في ℤ². هذه المرّة الاختبار الأوّل وحده يكفي، و التمرين ينتهي في خمسة أسطر.
🎯المطلوب: ناقش وجود حلول في ℤ² للمعادلة 6 x − 8 y = 9، ثمّ استنتج مجموعة الحلول.
نحسب القاسم المشترك الأكبر للمعاملين: العددان زوجيان و لا يشتركان في أكثر من 2.
نعمّل الطرف الأوّل: العامل 2 مشترك بين الحدّين.
مهما كانت الثنائية الصحيحة المختارة، الطرف الأوّل يبقى زوجيا.
و الطرف الثاني فرديّ: باقي قسمته على 2 هو 1.
عدد زوجيّ لا يساوي أبدا عددا فرديا: الشرط غير محقّق.
3. طريقة ثانية: حلّ المعادلة بالموافقات
للمعادلة نفسها طريق ثانٍ، لا يمرّ بخوارزمية إقليدس أصلا: نقرأ المعادلة بترديد أحد المعاملين. الحدّ الذي يحمل هذا المعامل يصير معدوما، فتبقى ترديدة بمجهول واحد، و نحن نعرف حلّها بدراسة كلّ البواقي الممكنة.
نعمل في ℤ². نتحقّق أوّلا من الثنائية (7 ; 4)، ثمّ نقود الحلّ بالموافقات.
🎯المطلوب: تحقّق من أنّ الثنائية (7 ; 4) حلّ، ثمّ عيّن كلّ حلول المعادلة 5 x − 8 y = 3.
نبدأ بالتحقّق من الثنائية المقترحة: هي حلّ خاصّ يُعطى في نصّ التمرين.
نعزل الحدّ الذي يحمل المعامل 8.
⭐ الحركة الأساسية: نقرأ المساواة بترديد 8، فيصير الحدّ 8 y معدوما.
لحلّ هذه الترديدة ندرس كلّ البواقي الممكنة للمجهول بترديد 8، و هي ثمانية لا غير.
الجدول أسفل هذا المثال يبيّن أنّ الباقي 7 هو الوحيد الذي يعطي 3.
نترجم الترديدة إلى كتابة صريحة.
نعوّض في المعادلة الأصلية لنستخرج المجهول الثاني.
ننشر و نحسب.
نبسّط بالعدد 8.
التحقّق العكسي، و هو إجباريّ هنا أيضا. ننشر أوّلا.
الحدّان بالمعامل k متعاكسان فيختفيان.
و هذا هو الجدول الذي يقود الخطوة 5: نحسب مضاعفات 5 بترديد 8 من أجل كلّ البواقي الممكنة، فنجد أنّ الباقي 3 لا يظهر إلّا مرّة واحدة.
| باقي المجهول بترديد 8 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| باقي مضاعفه بالعدد 5 بترديد 8 | 0 | 5 | 2 | 7 | 4 | 1 | 6 | 3 |
4. آلة الحلّ الخاصّ: معاملا بيزو بخوارزمية إقليدس
حين يكون المعاملان كبيرين، لا يمكن «رؤية» حلّ خاصّ. توجد آلة تعطيه دائما: ننجز قسمات إقليدس المتتابعة، و نحتفظ في كلّ سطر بمعاملي الباقي. القسمة المتتابعة تُكتب كالآتي، حيث كلّ سطر يقسم الباقي السابق على الذي يليه.
و كلّ باقٍ يُكتب بدلالة العددين الأصليين. نسمّي معاملَيه، ثمّ نلاحظ أنّهما يخضعان لنفس العلاقة التراجعية التي تخضع لها البواقي.
و الانطلاقة بديهية: العدد الأوّل يساوي نفسه، و العدد الثاني كذلك.
العددان المدروسان هما 745 و 385.
🎯المطلوب: عيّن القاسم المشترك الأكبر للعددين 745 و 385، ثمّ أوجد معاملَي بيزو لهما.
القسمة الأولى: العدد الأكبر على الأصغر.
نقسم الآن العدد الأصغر على الباقي الأوّل.
و هكذا دواليك: كلّ سطر يقسم الباقي السابق على الذي يليه.
القسمة الرابعة.
القسمة الخامسة: الباقي ينعدم، فنتوقّف.
آخر باقٍ غير معدوم هو القاسم المشترك الأكبر.
⭐ ننتقل إلى المعاملات. نطبّق العلاقة التراجعية بحاصل القسمة الأوّل.
و بالحاصل الثاني.
و بالحاصل الثالث، و هو 14.
و بالحاصل الرابع، و هو 2. هذه هي الرتبة التي يقابلها الباقي 5.
نعيد العمل نفسه للمعامل الثاني، بنفس الحواصل و نفس الترتيب.
الرتبة الثالثة.
الرتبة الرابعة، بالحاصل 14.
الرتبة الخامسة، بالحاصل 2.
نتحقّق: المعاملان عند الرتبة 5 يجب أن يعطيا الباقي 5، و هو القاسم المشترك الأكبر.
و هذا هو الجدول نفسه، مكتملا. كلّ سطر يحمل رتبته، و حاصل القسمة الذي استُعمل للانتقال إليه، و الباقي المحصل عليه، و معامليه.
| الرتبة | حاصل القسمة المستعمل | العدد الموافق | المعامل الأوّل | المعامل الثاني |
|---|---|---|---|---|
| 0 | — | 745 | 1 | 0 |
| 1 | — | 385 | 0 | 1 |
| 2 | 1 | 360 | 1 | −1 |
| 3 | 1 | 25 | −1 | 2 |
| 4 | 14 | 10 | 15 | −29 |
| 5 | 2 | 5 | −31 | 60 |
| 6 | 2 | 0 | 77 | −149 |
5. المعادلة في موضوع بكالوريا
نطبّق الآن الطريقة كاملة على معادلة بمعاملين كبيرين، مأخوذة من موضوع بكالوريا. لاحظ أنّ السؤال لا يكتفي بمجموعة الحلول: يطلب بعدها عددا وحيدا داخل مجال معيّن، و هذه هي الحركة النهائية التي تُنقّط.
المعادلة معطاة في ℤ². ثمّ يُطلب عددان طبيعيان غير معدومين d و e، حيث d محصور بين 0 و 226، يحقّقان المساواة 109 d = 1 + 226 e.
🎯المطلوب: حلّ في ℤ² المعادلة 109 x − 226 y = 1، ثمّ بيّن أنّه يوجد عدد وحيد d محصور بين 0 و 226 مع العدد e المرفق به.
خوارزمية إقليدس: القسمة الأولى.
القسمة الثانية.
القسمة الثالثة.
القسمة الرابعة.
القسمة الخامسة: الباقي 1، فنتوقّف.
آخر باقٍ غير معدوم هو 1: المعاملان أوليان فيما بينهما، إذن الحلول موجودة.
نتحقّق من الحلّ الخاصّ الذي يقترحه الموضوع. الجداء الأوّل.
الجداء الثاني.
الفرق بينهما يساوي 1: الثنائية حلّ خاصّ فعلا.
نطرح طرفا بطرف.
ننقل الحدّ الثاني للحصول على الشكل الجدائي.
العدد 226 يقسم الطرف الأيمن، إذن يقسم الطرف الأيسر.
⭐ غوص، بعد التذكير بالأوليّة فيما بينهما المثبتة في الخطوة 6.
نترجم و نعزل المجهول الأوّل.
نعوّض في مساواة الخطوة 11.
نبسّط بالعدد 226 غير المعدوم، ثمّ نعزل المجهول الثاني.
التحقّق العكسي: ننشر أوّلا، و المعامل المشترك للحدّين بالمعامل k هو جداء العددين.
الحدّان بالمعامل k متعاكسان فيختفيان، و يبقى فرق الجدائين.
مجموعة الحلول كاملة.
ننتقل إلى سؤال الوحدانية: نكتب الشرط المفروض على المجهول الأوّل.
نطرح 141 من الأطراف الثلاثة.
نقسم على 226 الموجب: المجال لا يحتوي إلّا على عدد صحيح واحد.
6. العودة إلى الضوءين
نغلق الدرس بالوضعية التي فتحته. و نحلّها خطوة بخطوة، بنفس الطريقة التي تعلّمتها.
📌المعطيات: دورا الضوءين 90 و 95 ثانية، المسافة بينهما 875 مترا، و السرعة المتوسطة 45 كيلومترا في الساعة أي 12,5 مترا في الثانية. المبدأ هو منتصف الليل، و الضوءان ينتقلان إلى الأخضر معا في تلك اللحظة.
🎯المطلوب: السائق يمرّ أمام الضوء الأوّل لحظة انتقاله إلى الأخضر. عيّن، بين الساعة السابعة و السابعة و النصف، لحظات مروره أمام الضوء الأوّل التي تجعله يصل إلى الضوء الثاني في اللحظة نفسها التي يمرّ فيها إلى الأخضر.
لحظات مرور الضوء الأوّل إلى الأخضر هي مضاعفات دوره، و دوره مجموع مدّتي الأخضر و الأحمر.
و بنفس الحساب للضوء الثاني.
إذا مرّ السائق أمام الضوء الأوّل في المرّة رقم u، فاللحظة هي مضاعف الدور.
نحوّل السرعة من الكيلومتر في الساعة إلى المتر في الثانية: ألف متر مقابل 3600 ثانية.
مدّة الطريق بين الضوءين هي المسافة مقسومة على السرعة.
يصل إلى الضوء الثاني بعد 70 ثانية، و يجب أن تكون لحظة الوصول هي المرور رقم v زائد واحد.
نعوّض لحظة الانطلاق و ننشر الطرف الأيمن.
ننقل الحدود: ها هي معادلة بمجهولين صحيحين.
نحسب القاسم المشترك الأكبر للمعاملين: هو 5، و هو يقسم 25، إذن الحلول موجودة.
نقسم المعادلة كلّها على 5 قبل أيّ شيء آخر.
⭐ حيلة: نضيف 19 v + 90 إلى الطرفين، فيصير كلّ طرف قابلا للتعميل، و نستغني عن البحث عن حلّ خاصّ.
نعمّل: العدد 90 هو 18 × 5، و العدد 95 هو 19 × 5.
العدد 19 يقسم الطرف الأيمن، إذن يقسم الطرف الأيسر.
العدد 19 أوّليّ و لا يقسم 18، إذن هما أوليان فيما بينهما.
⭐ غوص.
نترجم و نعزل عدد المرور الأوّل.
نعوّض في مساواة الخطوة 12.
نبسّط بالعدد 19 غير المعدوم، ثمّ نعزل عدد المرور الثاني.
نعود إلى اللحظة: نضرب عدد المرور الأوّل في الدور 90.
السائق يريد المرور بين السابعة و السابعة و النصف: نحوّل الحدّين إلى ثوانٍ.
نحصر k: قيمتان صحيحتان لا غير تدخلان المجال.
القيمة الأولى تعطي لحظة مستديرة تماما.
و هي الساعة السابعة تماما.
و القيمة الثانية تعطي اللحظة الثانية.
نحوّل اللحظة إلى ساعات و دقائق بقسمتين إقليديتين متتاليتين: نقسم أوّلا على 3600، ثمّ نقسم الباقي 1710 على 60.
Page 1/11
© Madrassati — a lesson written by Madrassati · madrassati.net