Mathematics🎓 baccalaureate goal

الهندسة في الفضاء الأوضاع النسبية للمستقيمات و المستويات

الأوضاع النسبية للمستقيمات و المستويات

🔊 The teacher reads for you

في المستوي، مستقيمان إمّا يتقاطعان و إمّا يتوازيان، و لا حالة ثالثة. أمّا في قاعة الدرس فانظر إلى حافّة السبّورة و إلى حافّة الطاولة: هما لا يتقاطعان أبدا، و مع ذلك ليسا متوازيين، و لا يمكن رسمهما معا على ورقة واحدة. فما هي إذن كلّ الأوضاع الممكنة لمستقيمين، و لمستقيم و مستو، و لمستويين في الفضاء؟

الجواب في جملة واحدة: في الفضاء يمكن لمستقيمين ألّا يتقاطعا و ألّا يتوازيا في آن واحد. هذه الحالة الرابعة، التي لا وجود لها في المستوي، تُسمّى «ليسا من نفس المستوي». و الدرس كلّه هو ثلاثة جداول صغيرة — لمستقيمين، لمستقيم و مستو، لمستويين — يقول كلّ منها الشيء نفسه: ماذا نحسب، و ماذا نستنتج.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

تمييز الأوضاع الممكنة لمستقيمين في الفضاء، و منها وضع «ليسا من نفس المستوي»
تحديد الوضع النسبي لمستقيم و مستو انطلاقا من شعاع توجيه و شعاع ناظمي
تحديد الوضع النسبي لمستويين انطلاقا من شعاعيهما الناظميين
تمييز الوضعيات الخمس الممكنة لثلاثة مستويات و قراءة نوع تقاطعها
الانتقال من حساب قصير إلى استنتاج هندسي دون الحاجة إلى رسم

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

التمثيل الوسيطي لمستقيم في الفضاء و شعاع توجيهه
المعادلة الديكارتية لمستو في الفضاء و شعاعه الناظمي
الجداء السلّمي في الفضاء و شرط تعامد شعاعين
حلّ جملة معادلتين خطّيتين بمجهولين

1. مستقيمان في الفضاء: أربعة أوضاع، لا ثلاثة

نعتبر مستقيمين، لكلّ منهما نقطة معلومة و شعاع توجيه. أوّل سؤال نطرحه ليس «هل يتقاطعان؟» بل «هل هما من نفس المستوي؟»: إن كانا كذلك عدنا إلى هندسة المستوي و أوضاعها المعروفة، و إن لم يكونا كذلك فلا لقاء بينهما البتّة.

شعاع توجيه لمستقيم

شعاع التوجيه يحمل المستقيم: كلّ نقطة منه تُبلَغ بالسير على هذا الشعاع انطلاقا من النقطة A. و هذا ما يميّزه عن الشعاع الناظمي، الذي هو عمودي على ما يعيّنه.

M ∈ (D) ⟺ (∃ t ∈ ℝ) AM = t u

Aنقطة معلومة من المستقيمuشعاع توجيه للمستقيم، غير معدوم

⛔ لا تخلط بين الشعاعين، فهما ضدّان. المستقيم يُعطى بشعاع توجيه يحمله، و المستوي يُعطى بشعاع ناظمي عمودي عليه. لو كان شعاع توجيه مستقيم ناظميا له، لكان عموديا على نفسه، و هذا لا يقع إلّا للشعاع المعدوم. كلّ الدرس يقوم على هذا التمييز.

أربع حالات لمستقيمين في الفضاء: متقاطعان في نقطة، متوازيان و مختلفان، منطبقان، ثمّ حالة رابعة لا يجمعهما فيها أيّ مستو. — ⭐ الحالات الثلاث الأولى تقع كلّها داخل مستو واحد؛ الرابعة وحدها هي التي تحتاج الفضاء لكي توجد.

للتمييز بينها نحتاج إلى اختبارين اثنين لا أكثر: اختبار الارتباط الخطّي لشعاعي التوجيه، ثمّ حلّ جملة إن لم يكونا مرتبطين خطّيا.

الوضع	ما نتحقّق منه	التقاطع
متقاطعان	الشعاعان غير مرتبطين خطّيا، و للجملة حلّ	نقطة
متوازيان و مختلفان	الشعاعان مرتبطان خطّيا، و نقطة من الأوّل ليست من الثاني	خال
منطبقان	الشعاعان مرتبطان خطّيا، و نقطة من الأوّل تنتمي إلى الثاني	مستقيم
ليسا من نفس المستوي	الشعاعان غير مرتبطين خطّيا، و الجملة بلا حلّ	خال

الاختباران يكفيان: الأوّل يفصل المتوازيين عن غيرهما، و الثاني يفصل المتقاطعين عن اللذين ليسا من نفس المستوي.

و الجملة المذكورة هي جملة ثلاث معادلات بمجهولين اثنين — الوسيطان. نحلّ معادلتين منها، ثمّ نعوّض في الثالثة. هذا التعويض ليس زينة: هو وحده يفصل بين الحالتين الأخيرتين، لأنّ الوسيطين موجودان دائما، و السؤال هو هل يعطيان النقطة نفسها في الراقم أيضا أم لا.

مثال 1: مستقيمان متقاطعان

الفضاء منسوب إلى معلم متعامد و متجانس. نعتبر المستقيمين المعطى تمثيلهما الوسيطي أدناه، بوسيطين مختلفين لأنّ كلّ مستقيم يُوصف بوسيطه الخاصّ.

🎯المطلوب: أدرس الوضع النسبي للمستقيمين d₁ و d₂، ثمّ عيّن نقطة تقاطعهما إن وُجدت

📌المعطى: التمثيل الوسيطي لـ d₁

x = −2 + 5 t ; y = −1 − t ; z = 3 + 4 t

📌المعطى: التمثيل الوسيطي لـ d₂

x = 1 − t' ; y = 4 + 3 t' ; z = 5 − t'

🔹الخطوة 1: شعاع توجيه لـ d₁

مركّبات شعاع التوجيه هي معاملات الوسيط في السطور الثلاثة.

u₁(5 ; −1 ; 4)

🔹الخطوة 2: شعاع توجيه لـ d₂

u₂(−1 ; 3 ; −1)

🔹الخطوة 3: محدّد المركّبتين الأوليين

شعاعان مرتبطان خطّيا لهما مركّبتان أوليان متناسبتان، أي محدّد منعدم.

5 × 3 − (−1) × (−1)=14

✅النّتيجة الجزئية: الشعاعان غير مرتبطين خطّيا

14 ≠ 0

🔹الخطوة 4: مساواة الفواصل

لمّا لا يكون الشعاعان مرتبطين خطّيا، لم يبق إلّا وضعان: متقاطعان، أو ليسا من نفس المستوي. و الفصل بينهما بالحساب.

−2 + 5 t = 1 − t'

🔹الخطوة 5: مساواة التراتيب

−1 − t = 4 + 3 t'

🔹الخطوة 6: نستخرج t من المعادلة الثانية

t = −5 − 3 t'

🔹الخطوة 7: نعوّض في المعادلة الأولى

−2 + 5 (−5 − 3 t') = 1 − t'

🔹الخطوة 8: ننشر الطرف الأيسر

−27 − 15 t' = 1 − t'

🔹الخطوة 9: نجمع الحدود المتشابهة

−28 = 14 t'

🔹الخطوة 10: قيمة الوسيط الثاني

t' = −2

🔹الخطوة 11: قيمة الوسيط الأوّل

t=−5 − 3 × (−2)=1

🔹الخطوة 12: نقطة d₁ من أجل ⁦t = 1⁩

(−2 + 5 ; −1 − 1 ; 3 + 4) = (3 ; −2 ; 7)

🔹الخطوة 13: نقطة d₂ من أجل ⁦t' = −2⁩

(1 + 2 ; 4 − 6 ; 5 + 2) = (3 ; −2 ; 7)

🔹الخطوة 14: التحقّق من الراقم

⭐ هذه هي الخطوة التي تُنسى: الوسيطان حُسبا من معادلتين فقط، فيبقى أن نتأكّد من أنّ الراقمين متساويان.

7 = 7

✅النّتيجة

d₁ ∩ d₂ = {(3 ; −2 ; 7)}

⭐ احسب دائما الراقم على المستقيمين معا و اكتب المساواة صراحة: هي الفرق الوحيد بين «متقاطعان» و «ليسا من نفس المستوي»، و تركها يجعل الاستنتاج بلا سند.

مثال 2: مستقيمان ليسا من نفس المستوي

نحتفظ بالمستقيم d₁ من المثال السابق، و نضيف إليه مستقيما ثالثا d₃، بوسيط ثالث.

🎯المطلوب: بيّن أنّ المستقيمين d₁ و d₃ ليسا من نفس المستوي

📌المعطى: التمثيل الوسيطي لـ d₁

x = −2 + 5 t ; y = −1 − t ; z = 3 + 4 t

📌المعطى: التمثيل الوسيطي لـ d₃

x = −7 + 7 t'' ; y = −3 t'' ; z = 2 t''

🔹الخطوة 1: شعاع توجيه لـ d₃

u₃(7 ; −3 ; 2)

🔹الخطوة 2: محدّد المركّبتين الأوليين

5 × (−3) − (−1) × 7=−8

✅النّتيجة الجزئية: الشعاعان غير مرتبطين خطّيا

−8 ≠ 0

🔹الخطوة 3: مساواة الفواصل

−2 + 5 t = −7 + 7 t''

🔹الخطوة 4: مساواة التراتيب

−1 − t = −3 t''

🔹الخطوة 5: نستخرج t من المعادلة الثانية

t = 3 t'' − 1

🔹الخطوة 6: نعوّض في المعادلة الأولى

−2 + 5 (3 t'' − 1) = −7 + 7 t''

🔹الخطوة 7: ننشر الطرف الأيسر

15 t'' − 7 = 7 t'' − 7

🔹الخطوة 8: نجمع الحدود المتشابهة

8 t'' = 0

🔹الخطوة 9: قيمة الوسيط الثالث

t'' = 0

🔹الخطوة 10: قيمة الوسيط الأوّل

t=3 × 0 − 1=−1

🔹الخطوة 11: نقطة d₁ من أجل ⁦t = −1⁩

(−7 ; 0 ; −1)

🔹الخطوة 12: نقطة d₃ من أجل ⁦t'' = 0⁩

(−7 ; 0 ; 0)

🔹الخطوة 13: باقي المعادلة الثالثة

الفاصلة و الترتيب متساويان، و الراقم لا. إذن لا توجد قيمة للوسيطين تعطي النقطة نفسها: الجملة ذات الثلاث معادلات مستحيلة.

−1 − 0 = −1

✅النّتيجة

d₁ ∩ d₃ = ∅

لمّا يكون الشعاعان غير مرتبطين خطّيا و الجملة بلا حلّ، لا تقل «متوازيان»: قل ليسا من نفس المستوي. التوازي يفرض شعاعي توجيه مرتبطين خطّيا، و هنا ليسا كذلك.

خلاصة الجزء الأوّل: شعاعا التوجيه يفصلان أوّلا. مرتبطان خطّيا ⟸ متوازيان أو منطبقان، و نقطة واحدة تفصل بينهما. غير مرتبطين خطّيا ⟸ متقاطعان أو ليسا من نفس المستوي، و الراقم هو الذي يفصل بينهما.

2. مستقيم و مستو: ثلاثة أوضاع

هذه المرّة لدينا شعاع توجيه للمستقيم و شعاع ناظمي للمستوي. و بينهما علاقة واحدة تقرّر كلّ شيء: جداؤهما السلّمي. إذا كان منعدما فالمستقيم لا يخترق المستوي أبدا، لأنّ اتّجاهه لا يحمل أيّ نصيب من الاتّجاه العمودي على المستوي.

شرط التوازي بين مستقيم و مستو

الشعاع الناظمي عمودي على كلّ شعاع من المستوي. فإذا كان شعاع التوجيه عموديا عليه بدوره، كان محمولا في اتّجاه من اتّجاهات المستوي، و المستقيم عندئذ إمّا داخله و إمّا موازيه.

u . n = 0

uشعاع توجيه للمستقيمnشعاع ناظمي للمستوي

ثلاث حالات لمستقيم و مستو: مستقيم موازٍ للمستوي و خارج عنه، مستقيم محتوى في المستوي، و مستقيم يخترق المستوي في نقطة واحدة. — الحالتان الأوليان تشتركان في الشرط نفسه؛ نقطة واحدة من المستقيم تفصل بينهما.

الوضع	ما نتحقّق منه	التقاطع
المستقيم يقطع المستوي	الجداء السلّمي غير منعدم	نقطة
المستقيم يوازي المستوي	الجداء السلّمي منعدم، و نقطة من المستقيم لا تحقّق معادلة المستوي	خال
المستقيم محتوى في المستوي	الجداء السلّمي منعدم، و نقطة من المستقيم تحقّق معادلة المستوي	مستقيم

اختبار واحد بالجداء السلّمي، ثمّ نقطة واحدة عند الحاجة: هذا كلّ ما يلزم.

مثال 3: مستقيم يوازي مستويا و تقاطعهما خال

الفضاء منسوب إلى معلم متعامد و متجانس. نعتبر المستقيم و المستوي الآتيين.

🎯المطلوب: حدّد الوضع النسبي للمستقيم ⁦( D )⁩ و المستوي ⁦( P₃ )⁩

📌المعطى: التمثيل الوسيطي لـ ⁦( D )⁩

x = t + 1 ; y = 1 ; z = t

📌المعطى: معادلة ديكارتية لـ ⁦( P₃ )⁩

4 x − 2 y − 4 z − 5=0

🔹الخطوة 1: شعاع توجيه للمستقيم

u(1 ; 0 ; 1)

🔹الخطوة 2: شعاع ناظمي للمستوي

مركّبات الشعاع الناظمي هي معاملات x و y و z في المعادلة، بهذا الترتيب.

n(4 ; −2 ; −4)

🔹الخطوة 3: الجداء السلّمي

u . n=1 × 4 + 0 × (−2) + 1 × (−4)

✅النّتيجة الجزئية: الشعاعان متعامدان

u . n = 0

🔹الخطوة 4: نقطة المستقيم من أجل ⁦t = 0⁩

بقي أن نعرف إن كان المستقيم داخل المستوي أم خارجه، و تكفي لذلك نقطة واحدة منه: نأخذ الوسيط معدوما.

A(1 ; 1 ; 0)

🔹الخطوة 5: نعوّض إحداثيات A في معادلة المستوي

4 × 1 − 2 × 1 − 4 × 0 − 5=−3

✅النّتيجة الجزئية: النقطة ليست من المستوي

−3 ≠ 0

✅النّتيجة

(D) ∩ (P₃) = ∅

اختر دائما أبسط نقطة من المستقيم — تلك التي يكون فيها الوسيط معدوما: إحداثياتها مقروءة مباشرة في التمثيل الوسيطي، بلا حساب.

مثال 4: مستقيم يقطع مستويا

نغيّر المستوي و نحتفظ بمستقيم آخر معطى بتمثيله الوسيطي.

🎯المطلوب: بيّن أنّ المستقيم ⁦( D )⁩ و المستوي ⁦( P′ )⁩ يتقاطعان

📌المعطى: التمثيل الوسيطي لـ ⁦( D )⁩

x = 1 − 2 t ; y = −2 + 2 t ; z = t

📌المعطى: معادلة ديكارتية لـ ⁦( P′ )⁩

4 x + 4 y + z + 3=0

🔹الخطوة 1: شعاع توجيه للمستقيم

u(−2 ; 2 ; 1)

🔹الخطوة 2: شعاع ناظمي للمستوي

n(4 ; 4 ; 1)

🔹الخطوة 3: الجداء السلّمي

u . n=(−2) × 4 + 2 × 4 + 1 × 1=−8 + 8 + 1

✅النّتيجة الجزئية: الجداء السلّمي غير منعدم

u . n = 1

✅النّتيجة

نسمّي I نقطة التقاطع الوحيدة هذه؛ و هي وحيدة لأنّ مستقيما غير موازٍ لمستو يخترقه مرّة واحدة لا غير.

(D) ∩ (P') = {I}

حين لا ينعدم الجداء السلّمي، الوضع محسوم: نقطة واحدة، لا أكثر و لا أقلّ. و لتعيين هذه النقطة نعوّض التمثيل الوسيطي في معادلة المستوي، فنحصل على معادلة من الدرجة الأولى مجهولها الوسيط.

3. مستويان: الشعاعان الناظميان يقرّران

مع مستويين لم يبق للشعاعين إلّا أن يكونا مرتبطين خطّيا أو لا. مرتبطان خطّيا ⟸ للمستويين «الميل» نفسه، فهما متوازيان: إمّا منطبقان و إمّا لا يلتقيان أبدا. غير مرتبطين خطّيا ⟸ الميلان مختلفان، و مستويان مختلفا الميل في الفضاء يتقاطعان حتما، و تقاطعهما مستقيم.

ثلاث حالات لمستويين: متقاطعان وفق مستقيم، منطبقان، ثمّ متوازيان مختلفان بلا أيّ نقطة مشتركة. — لاحظ أنّه لا توجد حالة «تقاطعهما نقطة»: مستويان لا يلتقيان أبدا في نقطة واحدة فقط.

الوضع	ما نتحقّق منه	التقاطع
متقاطعان	الشعاعان الناظميان غير مرتبطين خطّيا	مستقيم
منطبقان	الشعاعان مرتبطان خطّيا، و نقطة من الأوّل تحقّق معادلة الثاني	مستو
متوازيان و مختلفان	الشعاعان مرتبطان خطّيا، و نقطة من الأوّل لا تحقّق معادلة الثاني	خال

ثلاث حالات فقط: التقاطع مستقيم، أو مستو، أو خال.

⭐ خاصية أساسية: مستقيم في الفضاء يمكن أن يُعرَّف بجملة معادلتين ديكارتيتين لمستويين متقاطعين. فالمستقيم في الفضاء ليس له «معادلة» واحدة كما في المستوي، بل معادلتان: كلّ واحدة تصف مستويا، و المستقيم هو ما يشتركان فيه.

مثال 5: ثلاثة مستويات، دراسة الوضع النسبي مثنى مثنى

الفضاء منسوب إلى معلم متعامد و متجانس. نعتبر ثلاثة مستويات معرّفة بمعادلاتها الديكارتية.

🎯المطلوب: أدرس الوضع النسبي للمستويين ⁦( P₁ )⁩ و ⁦( P₂ )⁩، ثمّ للمستويين ⁦( P₁ )⁩ و ⁦( P₃ )⁩

📌المعطى: معادلة ⁦( P₁ )⁩

2 x − y − 2 z − 1=0

📌المعطى: معادلة ⁦( P₂ )⁩

−x + 4 y + z − 3=0

📌المعطى: معادلة ⁦( P₃ )⁩

4 x − 2 y − 4 z − 5=0

🔹الخطوة 1: شعاع ناظمي لـ ⁦( P₁ )⁩

n₁(2 ; −1 ; −2)

🔹الخطوة 2: شعاع ناظمي لـ ⁦( P₂ )⁩

n₂(−1 ; 4 ; 1)

🔹الخطوة 3: شعاع ناظمي لـ ⁦( P₃ )⁩

n₃(4 ; −2 ; −4)

🔹الخطوة 4: محدّد المركّبتين الأوليين لـ n₁ و n₂

2 × 4 − (−1) × (−1)=7

✅النّتيجة الأولى: المستويان متقاطعان وفق مستقيم

7 ≠ 0

🔹الخطوة 5: مقارنة الشعاعين الناظميين

نقارن الآن n₃ بـ n₁ مركّبة مركّبة: الثلاث مضاعفات بالمعامل نفسه.

n₃ = 2 n₁

✅النّتيجة الجزئية: المستويان متوازيان

(P₁) ∥ (P₃)

🔹الخطوة 6: نقطة من ⁦( P₁ )⁩

يبقى أن نعرف إن كانا منطبقين: نختبر نقطة واحدة من ⁦( P₁ )⁩.

A(0 ; −1 ; 0)

🔹الخطوة 7: التحقّق من انتماء A إلى ⁦( P₁ )⁩

2 × 0 − (−1) − 2 × 0 − 1=0

🔹الخطوة 8: نعوّض A في معادلة ⁦( P₃ )⁩

4 × 0 − 2 × (−1) − 4 × 0 − 5=−3

✅النّتيجة الجزئية: A ليست من ⁦( P₃ )⁩

−3 ≠ 0

✅النّتيجة الثانية

(P₁) ∩ (P₃) = ∅

⭐ هناك طريق أقصر يستغني عن اختيار نقطة: اطرح ضعف المعادلة الأولى من الثالثة، فتجد ثابتا غير معدوم — و ثابت غير معدوم يعني أنّه لا توجد أيّ نقطة تحقّق المعادلتين معا، أي أنّ التوازي تامّ. و هذا ما يبيّنه الحساب التالي.

الطريق الأقصر: طرح المعادلتين

المجاهيل تختفي كلّها و يبقى ثابت غير معدوم: لا يمكن لأيّ نقطة أن تحقّق المعادلتين في آن واحد، فالتقاطع خال دون حاجة إلى اختيار نقطة.

(4 x − 2 y − 4 z − 5) − 2 (2 x − y − 2 z − 1)=−3

4. ثلاثة مستويات: خمس وضعيات

مع ثلاثة مستويات لا نبدأ من الصفر: نأخذها مثنى مثنى. نبدأ باثنين منها، و نستعمل ما رأيناه في الجزء الثالث، ثمّ ندرس وضع المستوي الثالث بالنسبة إلى ما وجدناه.

إذا كان ⁦( P₁ )⁩ و ⁦( P₂ )⁩ متوازيين و مختلفين، فتقاطعهما خال، و تقاطع الثلاثة خال مهما كان ⁦( P₃ )⁩.
إذا كان ⁦( P₁ )⁩ و ⁦( P₂ )⁩ متقاطعين وفق مستقيم ⁦( D )⁩، عدنا إلى وضع مستقيم و مستو: ندرس وضع ⁦( D )⁩ بالنسبة إلى ⁦( P₃ )⁩.

خمس وضعيات لثلاثة مستويات: حالتان يكون فيهما الأوّلان متوازيين، و ثلاث حالات يتقاطع فيها الأوّلان وفق مستقيم يقطع الثالث أو يوازيه أو يكون محتوى فيه. — ⭐ الوضعيتان الأوليان تنتهيان إلى التقاطع الخالي؛ و في السطر الثاني وحده يتغيّر الجواب: نقطة، أو خال، أو مستقيم.

الوضعية	تقاطع المستويات الثلاثة
⁦( P₁ )⁩ و ⁦( P₂ )⁩ متوازيان و مختلفان، و ⁦( P₃ )⁩ يوازيهما	خال
⁦( P₁ )⁩ و ⁦( P₂ )⁩ متوازيان و مختلفان، و ⁦( P₃ )⁩ يقطعهما	خال
⁦( P₁ ) ∩ ( P₂ ) = ( D )⁩، و ⁦( D )⁩ يقطع ⁦( P₃ )⁩	نقطة
⁦( P₁ ) ∩ ( P₂ ) = ( D )⁩، و ⁦( D )⁩ يوازي ⁦( P₃ )⁩ دون أن يكون فيه	خال
⁦( P₁ ) ∩ ( P₂ ) = ( D )⁩، و ⁦( D )⁩ محتوى في ⁦( P₃ )⁩	مستقيم

خمس وضعيات، و ثلاثة أجوبة ممكنة فقط: نقطة، أو مستقيم، أو خال.

⚠️ «غير متوازيين مثنى مثنى» لا يعني «لهم نقطة مشتركة». ثلاثة مستويات قد يتقاطع كلّ اثنين منها وفق مستقيم، و تكون المستقيمات الثلاثة متوازية فيما بينها، فلا تجتمع المستويات الثلاثة في أيّ نقطة. تصوّر ثلاثة جدران يشكّلان موشورا مثلثيا: كلّ جدارين يلتقيان في حرف، و لا حرف مشترك بين الثلاثة.

مثال 6: ثلاثة مستويات تقاطعها خال

نعود إلى المستويات الثلاثة من المثال 5، و نسأل هذه المرّة عن وضعيتها مجتمعة.

🎯المطلوب: حدّد الوضعية التي تنتمي إليها المستويات الثلاثة، و استنتج نوع تقاطعها

📌المعطى: ما وجدناه في المثال 5

(P₁) ∩ (P₂) = (D)

🔹الخطوة 1: وضع ⁦( P₃ )⁩ بالنسبة إلى ⁦( P₁ )⁩

النتيجة الثانية للمثال 5 تعطي زوجا متوازيا، ⁦( P₁ )⁩ و ⁦( P₃ )⁩، و الثالث ⁦( P₂ )⁩ يقطعهما: هي الوضعية الثانية من الجدول.

(P₁) ∩ (P₃) = ∅

🔹الخطوة 2: موقع ⁦( D )⁩ من ⁦( P₁ )⁩

المستقيم ⁦( D )⁩ محتوى في ⁦( P₁ )⁩، و ⁦( P₁ )⁩ لا يشترك مع ⁦( P₃ )⁩ في أيّ نقطة، فمن باب أولى لا يشترك ⁦( D )⁩ مع ⁦( P₃ )⁩ في أيّ نقطة.

(D) ⊂ (P₁)

🔹الخطوة 3: تقاطع ⁦( D )⁩ مع ⁦( P₃ )⁩

(D) ∩ (P₃) = ∅

✅النّتيجة

(P₁) ∩ (P₂) ∩ (P₃) = ∅

ابدأ دائما بالبحث عن مستويين متوازيين بين الثلاثة: إن وجدتهما مختلفين، انتهى السؤال في سطر واحد، دون أيّ جملة معادلات.

⭐ ترتيب العمل الذي لا يخيب: ① اكتب الأشعّة — شعاع توجيه لكلّ مستقيم، شعاع ناظمي لكلّ مستو. ② اختبر الارتباط الخطّي أو التعامد. ③ عند الحاجة، اختبر نقطة واحدة. الجمل و الحسابات الطويلة لا تأتي إلّا في آخر المطاف، و في حالة واحدة فقط.

⛔ في البكالوريا، سؤال «أدرس الوضع النسبي» يُنقّط على التبرير، لا على الجواب وحده: اكتب صراحة الشعاعين اللذين تقارنهما، و قل لماذا هما مرتبطان خطّيا أو لا، ثمّ سمِّ الوضع بلفظه («ليسا من نفس المستوي»، «متوازيان و مختلفان»). ⚖️ و انتبه: لمّا يكون الشعاعان غير مرتبطين خطّيا، لا تستنتج التقاطع مباشرة في حالة مستقيمين — المعادلة الثالثة هي التي تحسم، و تركُها يكلّف نقطة السؤال كلّها.

الخلاصة: كلّ الأوضاع النسبية في الفضاء تُقرأ من شعاعين و نقطة. لمستقيمين: شعاعا التوجيه ثمّ الراقم — و منها الوضع الرابع الخاصّ بالفضاء، «ليسا من نفس المستوي». لمستقيم و مستو: شعاع التوجيه و الشعاع الناظمي، فإن انعدم جداؤهما السلّمي فصلت نقطةٌ بين «محتوى» و «موازٍ». لمستويين: الشعاعان الناظميان، و التقاطع مستقيم أو مستو أو خال، و ليس نقطة أبدا. و لثلاثة مستويات: نأخذها مثنى مثنى، فنعود دائما إلى إحدى الحالات السابقة.

Page 1/11

📍 During the year

🟦 T1 · 🟩 T2 · 🟪 T3 · 📝 exams W14/27/36 · 🎓 bac

📌 To remember

الخلاصة: كلّ الأوضاع النسبية في الفضاء تُقرأ من شعاعين و نقطة. لمستقيمين: شعاعا التوجيه ثمّ الراقم — و منها الوضع الرابع الخاصّ بالفضاء، «ليسا من نفس المستوي». لمستقيم و مستو: شعاع التوجيه و الشعاع الناظمي، فإن انعدم جداؤهما السلّمي فصلت نقطةٌ بين «محتوى» و «موازٍ». لمستويين: الشعاعان الناظميان، و التقاطع مستقيم أو مستو أو خال، و ليس نقطة أبدا. و لثلاثة مستويات: نأخذها مثنى مثنى، فنعود دائما إلى إحدى الحالات السابقة.

شعاع توجيه لمستقيم

M ∈ (D) ⟺ (∃ t ∈ ℝ) AM = t u

Aنقطة معلومة من المستقيمuشعاع توجيه للمستقيم، غير معدوم

شرط التوازي بين مستقيم و مستو

u . n = 0

uشعاع توجيه للمستقيمnشعاع ناظمي للمستوي

الطريق الأقصر: طرح المعادلتين

(4 x − 2 y − 4 z − 5) − 2 (2 x − y − 2 z − 1) = −3