الهندسة في الفضاء
تعيين تقاطع مستويين، مستقيم و مستو، و تقاطع ثلاثة مستويات
الجواب هو أنّ كلّ سؤال من هذا النوع يتحوّل إلى جملة معادلات خطّية، و أنّ شكل حلّ الجملة يقول مباشرة شكل التقاطع: حلّ وحيد ⟸ نقطة، حلّ بوسيط حرّ واحد ⟸ مستقيم، لا حلّ ⟸ تقاطع خال. في الدرس السابق كنّا نسأل «أيّ وضع؟»؛ هنا نسأل «ما هو التقاطع بالضبط؟».
- حلّ جملة معادلات خطّية بطريقة غوص، بالتدرّج نحو جملة مثلّثية
- تعيين تمثيل وسيطي لمستقيم تقاطع مستويين انطلاقا من معادلتيهما
- تعيين تقاطع مستقيم و مستو بتعويض التمثيل الوسيطي في المعادلة
- تعيين تقاطع ثلاثة مستويات و التمييز بين النقطة و المستقيم و التقاطع الخالي
- تفسير حلّ جملة ثلاث معادلات تفسيرا هندسيا
- التمثيل الوسيطي لمستقيم في الفضاء و شعاع توجيهه
- المعادلة الديكارتية لمستو في الفضاء و شعاعه الناظمي
- الأوضاع النسبية للمستقيمات و المستويات في الفضاء
- حلّ جملة معادلتين خطّيتين بمجهولين
1. الأداة: طريقة غوص، أو الحلّ بالتدرّج نحو جملة مثلّثية
قبل الهندسة، أداة جبرية واحدة تُعرف باسم طريقة غوص. الفكرة بسيطة: نستبدل معادلة بمجموعها مع مضاعف معادلة أخرى دون أن نغيّر مجموعة الحلول، و نكرّر ذلك حتّى تصير الجملة مثلّثية، أي كلّما نزلنا سطرا نقص مجهول. عندئذ نقرأ الحلول من الأسفل إلى الأعلى.
كلّ نقطة تحقّق المعادلتين معا تحقّق أيّ تركيب خطّي لهما، و العملية عكوسة (يكفي طرح ما أُضيف)، فلا نكسب حلولا و لا نفقد حلولا.
نتدرّج بالجملة نحو شكل مثلّثي. نسمّي المعادلات L₁ و L₂ و L₃ من الأعلى إلى الأسفل.
🎯المطلوب: حلّ الجملة ( S ) بطريقة غوص، أي بالتدرّج نحو جملة مثلّثية
نختار المعادلة الأولى «محورا» و نحذف المجهول a من المعادلتين الأخريين.
⚠️ المعادلة الأولى لم تُمسّ بأيّ من العمليتين، فهي تبقى كما هي حرفا بحرف في الجملة الجديدة.
نقسم على 3 و نغيّر الإشارة لنجعل معامل c مساويا للواحد.
الجملة صارت مثلّثية: المعادلة الثالثة بمجهولين، و الثانية تضيف c، و الأولى تضيف a. المجهولان d و e يبقيان حرّين، فنجعلهما وسيطين.
جملة ثلاث معادلات بثلاثة مجاهيل، لكن أطرافها الثانية أعداد حقيقية معطاة، لا أعدادا محدّدة.
🎯المطلوب: ناقش وجود حلول الجملة بدلالة الأعداد الحقيقية a و b و c
قبل أيّ حساب، ننظر إلى المعاملات: هل الطرف الأيسر الثالث تركيب خطّي للطرفين الأوّلين؟
الطرف الأيسر واحد في السطرين، فلا بدّ أن يكون الطرف الأيمن واحدا كذلك، و إلّا كانت الجملة مستحيلة.
عند تحقّق الشرط تصير المعادلة الثالثة نتيجة للأخريين، فلا تضيف شيئا: تبقى معادلتان بثلاثة مجاهيل، أي شعاعان ناظميان غير مرتبطين خطّيا، أي مستويان متقاطعان.
المعادلتان الباقيتان تصفان مستويين متقاطعين، و تقاطع مستويين متقاطعين مستقيم: فمجموعة الحلول مستقيم من الفضاء، أي حلّ بوسيط حرّ واحد.
2. تقاطع مستويين: من معادلتين إلى تمثيل وسيطي
مستويان غير متوازيين يتقاطعان وفق مستقيم. لكن معرفة أنّ التقاطع مستقيم لا تعطينا هذا المستقيم: لا نقطة منه، و لا شعاع توجيه له. تعيينه يعني كتابة تمثيل وسيطي له، و الطريق إلى ذلك واحد: نختار أحد المجاهيل وسيطا، ثمّ نعبّر عن المجهولين الآخرين بدلالته.
كيف نختار المجهول الذي يصير وسيطا؟ نختار ذاك الذي يجعل الجملة الباقية سهلة الحلّ، أي الذي يبقى بعده محدّد غير منعدم للمجهولين الآخرين. و بعد الحصول على التمثيل، نتحقّق دائما بالتعويض في المعادلتين الأصليتين.
الفضاء منسوب إلى معلم متعامد و متجانس. نعتبر مستويين معرّفين بمعادلتيهما الديكارتيتين.
🎯المطلوب: عيّن تمثيلا وسيطيا للمستقيم ( D ) تقاطع المستويين ( P₁ ) و ( P₂ )
لا بدّ أوّلا من التأكّد أنّ التقاطع مستقيم فعلا، و إلّا فلا معنى للبحث عن تمثيل وسيطي.
نختار z وسيطا و نحتفظ بـ x و y مجهولين.
مركّبات شعاع التوجيه هي معاملات الوسيط في السطور الثلاثة.
نغيّر المستويين، و هذه المرّة الفاصلة هي التي تصلح وسيطا.
🎯المطلوب: عيّن تمثيلا وسيطيا للمستقيم ( D ) تقاطع المستويين ( P₁ ) و ( P₂ )
⚠️ المعادلة الثانية لا تحوي z أصلا، فاختيار z وسيطا يترك جملة في x و y أثقل حلّا. نختار x وسيطا: الترتيب يخرج فورا من المعادلة الثانية.
3. تقاطع مستقيم و مستو: التعويض يحسم
لمّا يكون المستقيم معطى بتمثيل وسيطي و المستوي بمعادلة ديكارتية، لا نحتاج إلى أيّ تحضير: نعوّض عبارات x و y و z في معادلة المستوي. فنحصل على معادلة من الدرجة الأولى مجهولها الوسيط وحده، و شكل هذه المعادلة يعطي التقاطع كاملا.
| شكل المعادلة الناتجة في الوسيط | التقاطع |
|---|---|
| معامل الوسيط غير منعدم: قيمة وحيدة للوسيط | نقطة واحدة |
| معامل الوسيط منعدم و الثابت غير منعدم: مساواة مستحيلة | خال |
| معامل الوسيط منعدم و الثابت منعدم: مساواة محقّقة دائما | المستقيم كلّه |
الفضاء منسوب إلى معلم متعامد و متجانس. نعتبر ثلاثة مستويات، و نبحث عن النقط المشتركة بينها جميعا. نعالج المسألة في مرحلتين: تقاطع الأوّلين، ثمّ لقاؤه بالثالث.
🎯المطلوب: عيّن تقاطع المستويات الثلاثة ( P ) و ( R ) و ( P′ )
المرحلة الأولى: نعيّن هذا المستقيم. نختار z وسيطا.
المرحلة الثانية: نعوّض هذا التمثيل في معادلة المستوي الثالث.
معامل الوسيط غير منعدم، فللمعادلة حلّ وحيد: التقاطع نقطة واحدة.
4. تقاطع ثلاثة مستويات: نقطة، أو مستقيم، أو خال
المثال السابق أعطى الحالة الأولى: نقطة واحدة. و الطريق نفسه يعطي الحالتين الأخريين، لأنّ المعادلة الأخيرة في الوسيط هي التي تقرّر. مرحلتان لا ثالثة لهما: نعيّن ( D ) تقاطع مستويين، ثمّ نعوّض في معادلة الثالث.
و إذا كان مستويان من الثلاثة متوازيين و مختلفين، فلا حاجة إلى أيّ جملة: تقاطعهما خال، و تقاطع الثلاثة خال من باب أولى. ابحث دائما عن هذه الحالة أوّلا: هي تُنهي السؤال في سطرين.
نحتفظ بالمستقيم ( D ) المعيّن في المثال 4، تقاطع المستويين ( P₁ ) و ( P₂ )، و نضيف مستويا ثالثا.
🎯المطلوب: عيّن تقاطع المستويات الثلاثة ( P₁ ) و ( P₂ ) و ( P₃ )
نبدأ بالبحث عن مستويين متوازيين بين الثلاثة، فذلك ينهي السؤال فورا. و لذلك نقارن الأشعّة الناظمية مثنى مثنى.
لا محدّد منها منعدم، فلا شعاعين مرتبطين خطّيا، فلا مستويين متوازيين: لا مفرّ من الحساب.
نقطة من ( D ) تنتمي إلى ( P₃ ) إذا و فقط إذا حقّق وسيطها هذه المعادلة. نبحث إذن عن قيم الوسيط التي تحقّقها.
⭐ ننشر الطرف الأيسر وحده و ننظر إلى ما يبقى منه.
معامل الوسيط انعدم: الطرف الأيسر ثابت لا يتعلّق بالوسيط أصلا. و هذا الثابت ليس معدوما، فلا قيمة للوسيط تحقّق المعادلة.
و يمكن قراءة الأمر هندسيا: شعاع توجيه ( D ) عمودي على الشعاع الناظمي لـ ( P₃ )، إذن ( D ) يوازي ( P₃ )، و النقطة A من ( D ) ليست من ( P₃ ).
نحتفظ بالمستقيم ( D ) المعيّن في المثال 3، تقاطع المستويين ( P₁ ) و ( P₂ )، و نضيف المستوي ( P₃ ) الذي معادلته أدناه.
🎯المطلوب: بيّن أنّ تقاطع المستويات الثلاثة خال
نبحث عن قيم الوسيط التي تجعل نقطة ( D ) تنتمي إلى ( P₃ ).
معامل الوسيط انعدم و بقي ثابت غير منعدم، كما في المثال السابق: لا قيمة للوسيط تحقّق المعادلة.
المجاهيل تختفي كلّها و يبقى ثابت غير معدوم: لا نقطة في الفضاء تحقّق المعادلتين معا، فالمستويان ( P₁ ) و ( P₃ ) متوازيان و مختلفان.
Page 1/12
© Madrassati — a lesson written by Madrassati · madrassati.net