Mathématiques🎓 objectif bac

الدوال اللوغاريتمية والأسية

الدالة الأسية: التعريف و الكتابة ⁦e^x⁩

🔊 La maîtresse lit pour toi

رأينا أن دالة اللوغاريتم النيبيري ln دالة متزايدة تماما تأخذ كل قيمة حقيقية مرة واحدة بالضبط، انطلاقا من عدد موجب تماما. فكيف نُعرّف الدالة العكسية لِـ ln، و لماذا نرمز إليها بالكتابة e^x؟

الدالة الأسية هي الدالة العكسية لدالة اللوغاريتم النيبيري: بدل الانطلاق من عدد موجب تماما y و حساب ⁦ln(y)⁩، ننطلق من عدد حقيقي x كيفي و نبحث عن العدد الموجب تماما y الذي لوغاريتمه يساوي x.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

تعريف الدالة الأسية exp كدالة عكسية لدالة اللوغاريتم النيبيري ln
معرفة العلاقة بين الرمزين ⁦exp(x)⁩ و e^x
معرفة الخواص الأساسية للدالة الأسية: الإشارة، الرتابة، و التكافؤان ⁦e^a=e^b⁩ و ⁦e^a<e^b⁩
حل معادلات و متراجحات بسيطة تتضمن الدالة الأسية أو ln

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

تعريف و رتابة دالة اللوغاريتم النيبيري ln
الخاصيتان ⁦ln(a)=ln(b)⟺a=b⁩ و ⁦ln(a)<ln(b)⟺a<b⁩

1. التعريف

تعريف الدالة الأسية

y = exp(x) ⟺ x = ln(y)

لكل عدد حقيقي x يوجد عدد موجب تماما وحيد y يحقق هذه المعادلة (لأن ln متزايدة تماما و تأخذ كل القيم الحقيقية): هذا ما يجعل exp دالة معرفة على كل ℝ.

2. الرمز e^x

خاصية

لأن ⁦ln(e)=1⁩، فإن ⁦ln(eⁿ)=n×ln(e)=n×1=n⁩، لكل عدد صحيح نسبي n.

ln(eⁿ) = n

✅النّتيجة: exp للأعداد الصحيحة

exp(n) = eⁿ

الاصطلاح

نعمم الترميز e^x إلى كل عدد حقيقي x (لا فقط الأعداد الصحيحة)، و نقرأ e^x: أسية x.

exp(x) = e^x

3. خواص أساسية

الخاصية 1: الإشارة

e^x > 0

الخاصية 2: التعريف بالترميز الجديد

y = e^x ⟺ x = ln(y)

الخاصية 3

ln(e^x) = x

الخاصية 4

e^ln(x) = x

مثال: القيمة في 0

ln(1) = 0 ⟹ e⁰ = 1

مثال: القيمة في 1

ln(e) = 1 ⟹ e¹ = e

الخاصية 5: المساواة

e^a = e^b ⟺ a = b

الخاصية 6: الرتابة

e^a < e^b ⟺ a < b

الخاصيتان 5 و 6 تعنيان أن الدالة الأسية متزايدة تماما على ℝ، تماما كما أن ln متزايدة تماما على الأعداد الموجبة تماما.

مثال 1: معادلة أسية بمساواة الأسين

نعتبر المعادلة ⁦e^{x² + 3x − 3} = e^2x − 1⁩، أُسّاها كثيرا حدود من الدرجة الثانية و من الدرجة الأولى.

🎯المطلوب: حلّ هذه المعادلة.

🔹الخطوة 1: مساواة الأسين

نطبق التكافؤ ⁦e^a=e^b ⟺ a=b⁩ مباشرة على الأسين.

x² + 3x − 3 = 2x − 1

🔹الخطوة 2: تبسيط المعادلة

ننقل كل الحدود إلى طرف واحد.

x² + x − 2 = 0

🔹الخطوة 3: المميز

نحسب المميز.

Δ=1² − 4×1×(−2)=9

🔹الخطوة 4: الحل الأول

جذر المميز 3، فالحل الأول هو:

x′=−1 − 32=−2

🔹الخطوة 5: الحل الثاني

و الحل الثاني هو:

x″=−1 + 32=1

✅النّتيجة

مجموعة الحلول هي إذن:

S = {−2 ; 1}

⭐ أمام معادلة من الشكل ⁦e^u=e^v⁩، لا حاجة لأخذ ln: يكفي مساواة الأسين u و v مباشرة.

مثال 2: متراجحة أسية بمقارنة الأسين

نعتبر المتراجحة ⁦e^5x + 3 > e^3x − 1⁩، أُسّاها كثيرا حدود من الدرجة الأولى.

🎯المطلوب: حلّ هذه المتراجحة.

🔹الخطوة 1: مقارنة الأسين

نطبق التكافؤ ⁦e^a<e^b ⟺ a<b⁩ على الأسين.

5x + 3 > 3x − 1

🔹الخطوة 2: حل المتراجحة

نبسط المتراجحة.

2x > −4

✅النّتيجة

نقسم الطرفين على 2 (عدد موجب، الاتجاه لا يتغير).

S = ]−2;+∞[

مثال 3: معادلة أسية بأخذ ln للطرفين

نعتبر المعادلة ⁦e^2x − 1 = 3⁩، طرفها الأيمن عدد موجب تماما.

🎯المطلوب: حلّ هذه المعادلة.

🔹الخطوة 1: أخذ ln للطرفين

نأخذ ln لطرفي المعادلة، فيختفي الأس بخاصية ⁦ln(e^t)=t⁩.

2x − 1 = ln(3)

✅النّتيجة

نحل من أجل x.

x = 1 + ln(3)2

⭐ أمام معادلة من الشكل ⁦e^u=λ⁩ حيث λ موجب تماما، خذ ln لطرفيها مباشرة.

مثال 4: متراجحة أسية تتضمن عددا سالبا

نعتبر المتراجحة ⁦e^x + 2 > a⁩، حيث a عدد حقيقي سالب.

🎯المطلوب: حلّ هذه المتراجحة.

🔹الخطوة 1: استعمال خاصية الإيجابية

الطرف الأيسر دالة أسية، و هي موجبة تماما مهما كانت قيمة x.

e^{x + 2} > 0

✅النّتيجة

و العدد الموجب تماما أكبر تماما من أي عدد سالب.

S = ℝ

⭐ تذكر دائما الخاصية الأولى: e^x موجب تماما مهما كانت قيمة x، حتى قبل أي حساب.

مثال 5: معادلة لوغاريتمية بالانتقال إلى الدالة الأسية

نعتبر المعادلة ⁦ln(2x−1) = 2⁩.

🎯المطلوب: حلّ هذه المعادلة.

🔹الخطوة 1: مجموعة التعريف

نحدد أولا مجموعة التعريف: يجب أن يكون ⁦2x−1⁩ موجبا تماما.

2x − 1 > 0 ⟹ D = ]1/2;+∞[

🔹الخطوة 2: تطبيق الدالة الأسية

نطبق الدالة الأسية على الطرفين لإزالة ln (لأن تطبيق الدالة الأسية على ⁦ln(t)⁩ يعطي t مباشرة).

2x − 1 = e²

🔹الخطوة 3: حل المعادلة

نحل من أجل x.

x = e² + 12

✅النّتيجة

نتحقق من انتماء الحل إلى D.

e² + 12 ∈ D ⟹ S = {e² + 12}

⭐ الخاصيتان 3 و 4 هما الأداتان اللتان تسمحان بالانتقال بين معادلة أسية و معادلة لوغاريتمية: خذ ln لإزالة الأس، أو طبّق exp لإزالة ln.

⚠️ تطبيق الدالة الأسية على ⁦ln(x)⁩ لا يُعرَّف إلا لِـ x موجب تماما (لأن ⁦ln(x)⁩ نفسه يحتاج ⁦x>0⁩)، بينما ⁦ln(e^x)⁩ معرفة لكل عدد حقيقي x.

مخطط بشكل حلقة بين مربعين: الأول يحمل x و يرسل سهما بعنوان exp نحو الثاني الذي يحمل y، و الثاني يرسل سهم عودة بعنوان ln نحو الأول، ليبين أن الدالتين تعكس إحداهما الأخرى. — exp و ln تعكس إحداهما عمل الأخرى: إن كان ⁦y=exp(x)⁩ فإن ⁦x=ln(y)⁩، و العكس صحيح.

في البكالوريا يأتي هذا الدرس في أسئلة قصيرة داخل التمرين: «حلّ في ℝ المعادلة أو المتراجحة» وفيها ⁦e^x⁩ أو ln، وهي أدوات تحتاجها بعدها في دراسة الدالّة. جهّز ثلاثة عناصر: ① التعريف: ⁦y = e^x⁩ يكافئ ⁦x = ln(y)⁩، فالدالّة الأسية هي الدالّة العكسية لـ ln، معرّفة على ℝ وقيمها موجبة تماما ؛ ② التكافؤان: ⁦e^a = e^b⁩ يكافئ ⁦a = b⁩، و ⁦e^a < e^b⁩ يكافئ ⁦a < b⁩، وهما يحلّان كلّ معادلة أو متراجحة أسية بسيطة ؛ ③ العلاقتان: ⁦ln(e^x) = x⁩ لكلّ عدد حقيقي x، و ⁦e^ln x = x⁩ من أجل ⁦x > 0⁩ فقط، مع ⁦e⁰ = 1⁩ و ⁦e¹ = e⁩. ⚠️ الخطأ الشائع: كتابة ⁦e^ln x = x⁩ دون شرط ؛ هذه العلاقة لا تُعرَّف إلّا من أجل x موجب تماما، لأنّ ⁦ln(x)⁩ نفسه يحتاج ⁦x > 0⁩. ⚠️ وخطأ ثانٍ: البحث عن حلّ لمعادلة من الشكل ⁦e^x⁩ = عدد سالب أو معدوم ؛ ⁦e^x > 0⁩ دائما، فلا حلّ لها.

الخلاصة: الدالة الأسية exp هي الدالة العكسية لِـ ln، معرفة على كل ℝ و تأخذ قيما موجبة تماما فقط. نكتبها e^x لكل عدد حقيقي x، و هي متزايدة تماما: ⁦e^a=e^b⁩ يكافئ ⁦a=b⁩، و ⁦e^a<e^b⁩ يكافئ ⁦a<b⁩. هاتان الخاصيتان الأخيرتان هما اللتان تحلان كل معادلة أو متراجحة أسية بسيطة، تماما كما كانت خاصيتا ln تحلان المعادلات اللوغاريتمية.

Page 1/9

📍 Dans l'année

🟦 T1 · 🟩 T2 · 🟪 T3 · 📝 examens S14/27/36 · 🎓 bac

📌 À retenir

الخلاصة: الدالة الأسية exp هي الدالة العكسية لِـ ln، معرفة على كل ℝ و تأخذ قيما موجبة تماما فقط. نكتبها e^x لكل عدد حقيقي x، و هي متزايدة تماما: ⁦e^a=e^b⁩ يكافئ ⁦a=b⁩، و ⁦e^a<e^b⁩ يكافئ ⁦a<b⁩. هاتان الخاصيتان الأخيرتان هما اللتان تحلان كل معادلة أو متراجحة أسية بسيطة، تماما كما كانت خاصيتا ln تحلان المعادلات اللوغاريتمية.

تعريف الدالة الأسية

y = exp(x) ⟺ x = ln(y)

خاصية

ln(eⁿ) = n

الاصطلاح

exp(x) = e^x

الخاصية 1: الإشارة

e^x > 0

الخاصية 2: التعريف بالترميز الجديد

y = e^x ⟺ x = ln(y)

الخاصية 3

ln(e^x) = x

الخاصية 4

e^ln(x) = x

مثال: القيمة في 0

ln(1) = 0 ⟹ e⁰ = 1

الدالة الأسية: التعريف و الكتابة ⁦e^x⁩

1. التعريف

2. الرمز ex

3. خواص أساسية

2. الرمز e^x